¿Cómo se puede aplicar el álgebra lineal en la investigación de operaciones?

Answer 1

El álgebra lineal aparece de manera prominente en prácticamente todas las áreas de las matemáticas: es realmente imposible hacer muchas matemáticas sin saber al menos una cantidad justa. ¿Por qué?

(1) El álgebra lineal es bien entendido en teoría y computacionalmente factible en la práctica. Si puede reducir un problema a álgebra lineal, lo más probable es que pueda resolverlo de manera eficiente. Esto es raro de encontrar en matemáticas serias, y sería una locura no aprovecharlo. Compare esto con la geometría algebraica: si simplemente reemplaza “lineal” por “polinomio”, de repente todo se vuelve mucho, mucho más difícil y, excepto en casos muy pequeños, los aspectos computacionales son totalmente intratables. En consecuencia, cada vez que puede convertir algo en un problema de álgebra lineal, aunque solo sea en un sentido aproximado, es casi seguro que sea lo correcto.

(2) Es irrazonablemente fácil convertir muchos tipos diferentes de cosas en problemas de álgebra lineal. Por un lado, las cosas que se describen mediante ecuaciones generalmente tienen algo de geometría, y la geometría generalmente se puede linealizar localmente; Uno de los ejemplos más obvios aquí es el método de multiplicadores de Lagrange que probablemente aprendió en el cálculo de la escuela secundaria. Pero esta no es la única forma de reducir un problema a álgebra lineal. Cada vez que tenga información que pueda expresarse como una matriz, probablemente pueda interpretar esta matriz como la matriz de algún tipo de tensor; considere las matrices de adyacencia en la teoría de grafos, por ejemplo.

Si quieres la respuesta larga, mira MATLAB. En esencia, es un programa que hace álgebra lineal numérica rápida. Eche un vistazo a las cajas de herramientas que vienen con él y los lugares en una organización que se está utilizando y verá rápidamente exactamente dónde se usa el álgebra lineal en la práctica de quirófano.

Answer 2

Una de las áreas más fundamentales de la Investigación de Operaciones es la Programación Lineal (LP) (es un enfoque de optimización restringido) y el increíblemente dotado George Danzig ideó el método simple para resolverlo. [Si bien no tiene el mejor tiempo de ejecución del peor de los casos, generalmente se lo considera eficiente]. Dado que un LP puede expresarse algebraicamente usando vectores y matrices, por lo tanto, puede resolverse usando técnicas de álgebra lineal, por lo tanto, el álgebra lineal se aplica a cualquier cosa que involucre LP.

Answer 3

La investigación de operaciones es, en esencia, optimización. La optimización convexa y manejable computacionalmente siempre se lleva a cabo utilizando álgebra lineal. La optimización no convexa (para la cual la optimización local puede no ser demasiado difícil pero la optimización global es muy difícil) generalmente se resuelve mediante una reducción aproximada y / o iterativa de subproblemas convexos.

Answer 4

Además de la programación lineal (y de hecho la mayoría de los modelos de optimización), el álgebra lineal sustenta las cadenas de Markov y varios otros modelos estocásticos, y se encuentra en el centro de la regresión de mínimos cuadrados ordinarios.

Para citar un ejemplo de aplicación específica, suponga que tiene una red de carreteras (tráfico descrito por un sistema de ecuaciones lineales) y está colocando sensores para monitorear las condiciones del tráfico. Si, dada la información de los sensores, las ecuaciones de flujo de tráfico tienen una solución única, tiene suficientes sensores. Si las ecuaciones de flujo de tráfico tienen múltiples soluciones, necesita más sensores.