¿Cuál es la intuición detrás del espacio dual y la norma dual?

Answer 1

No estoy seguro de qué tipo de respuesta quieres exactamente, pero lo intentaré.

Si [math] V [/ math] es un espacio vectorial [math] F [/ math], entonces el espacio dual, generalmente denotado [math] V ^ * [/ math], es simplemente el conjunto de todos los funcionales lineales en [matemática] V [/ matemática] (es decir, mapas lineales de [matemática] V [/ matemática] a [matemática] F [/ matemática]). Entonces resulta que [math] V ^ * [/ math] tiene la estructura de un espacio vectorial [math] F [/ math]. Si [math] V [/ math] es de dimensión finita, entonces [math] V \ cong V ^ * [/ math].

La razón por la que esto es útil es la siguiente afirmación vaga: si desea estudiar un objeto matemático [matemática] X [/ matemática], entonces una forma de hacerlo es estudiar funciones en [matemática] X [/ matemática]. Por supuesto, no quieres volverte loco y estudiar todas las funciones posibles en [math] X [/ math]; en su lugar, debe estudiar las funciones que respetan la estructura de [matemáticas] X [/ matemáticas]. En este caso, dado que [math] V [/ math] es un espacio vectorial, esas funciones son simplemente funcionales lineales.

En lo que respecta a la norma dual, tenemos [matemáticas] || f || ^ *: = \ sup \ {| f (v) |: v \ en V, || v || \ leq 1 \}. [ / math] (Tenga en cuenta que está implícito que [math] V [/ math] es un espacio normado para que esto tenga sentido. Además, está implícito que tiene un valor absoluto definido en el campo [math] F [/ matemáticas].) Es muy natural medir “cuán grande” es una función midiendo “cuán grande” son sus valores. Por supuesto, no puedes medir cuán grandes son todos sus valores; Como es funcional lineal, sus valores serán ilimitados en general. Sin embargo, si se limita a algo razonable como la bola de la unidad, puede esperar una respuesta significativa.