Suponga (según se requiera) que A es una matriz simétrica, definida positiva, n por n. Entonces puede verse como un producto interno en [math] \ mathbf {R} ^ n [/ math] dado por [math] \ langle v, w \ rangle: = v ^ \ mathrm {T} Aw [/ math ] donde v y w se consideran como vectores de columna. La entrada (i, j) de A es el valor del producto interno [math] \ langle e_i, e_j \ rangle [/ math] con respecto a alguna elección de base [math] B = \ {e_1, \ dots , e_n \} [/ math]. Si M es la matriz cuya i-ésima fila está dada por las coordenadas de [math] e_i [/ math], entonces [math] A = MM ^ \ mathrm {T} [/ math]. Para convertir M en una matriz triangular inferior, utilice el proceso de Gram-Schmidt para convertir B en una base ortonormal. La matriz de cambio de base es una matriz triangular L (que si realiza el proceso en el orden correcto se puede elegir como triangular inferior). Por lo tanto, M = LK, donde las filas de K son las coordenadas de la nueva base ortornomal. Por lo tanto, K es una matriz ortogonal, es decir, [matemática] KK ^ \ mathrm {T} [/ math] = I. Entonces, [matemáticas] A = MM ^ \ mathrm {T} = LK (LK) ^ \ mathrm {T} = LKK ^ \ mathrm {T} L ^ \ mathrm {T} = LL ^ \ mathrm {T} [/ matemáticas] según lo deseado.
En otras palabras, la respuesta es que una matriz simétrica definida positiva codifica un producto interno en alguna red en [math] \ mathbf {R} ^ n [/ math]. Puede cambiar la base de esta red utilizando el proceso de Gram-Schmidt para obtener el resultado.