¿Cuál es la prueba más clara del teorema espectral?

Answer 1

Esto, por supuesto, depende del teorema espectral que desee. El caso motivador es el de las matrices hermitianas sobre un espacio de producto interno complejo de dimensiones finitas, y es bastante sencillo. Para ser preciso:

Teorema. Si H es un operador hermitiano en un espacio vectorial complejo de dimensiones finitas V , entonces V tiene una base ortonormal que consiste en vectores E – H .

Prueba. Como estamos trabajando sobre un campo algebraicamente cerrado, H tiene un vector propio v , digamos con valor propio [math] \ lambda [/ math]. Como H es hermitiano, [matemática] v ^ \ top [/ matemática] es H- invariante: si [matemática] w \ en v ^ \ top [/ matemática] entonces

[matemáticas] \ langle v, H w \ rangle = \ langle H v, w \ rangle = \ langle \ lambda v, w \ rangle = \ lambda \ langle v, w \ rangle = 0 [/ math]

Ahora recurse, reemplazando V con [matemáticas] v ^ \ top [/ matemáticas].

Por supuesto, esta presentación es un poco falsa: este argumento probablemente no fue inicialmente para un mapa hermitiano en un espacio vectorial complejo, sino probablemente para el producto de puntos habitual en C ^ n. Los mapas hermitianos son precisamente aquellos mapas para los que funciona este argumento.

Answer 2

(Este de Álgebra lineal de G. Strang y su aplicación parece muy limpio y simple).

La simetría hermitiana y la transformación unitaria son dos características clave.

Teorema espectral: toda matriz hermitiana [matemática] A [/ matemática] puede ser diagonalizada por una matriz unitaria:

[matemáticas] U ^ HAU = \ Lambda [/ matemáticas]. Las columnas de [math] U [/ math] contienen un conjunto completo de vectores propios ortonormales.

Necesitas el lema de Schur para demostrarlo.

Lema de Schur: Para cualquier matriz cuadrada [matemática] A [/ matemática], hay una matriz unitaria [matemática] U [/ matemática] tal que

[matemática] U ^ HAU = T [/ matemática] es un triángulo superior. Los valores propios de [math] A [/ math] aparecen a lo largo de la diagonal principal de [math] T [/ math].

Primero use el lema de Schur para probar el teorema espectral:

1. Si [math] A [/ math] es Hermitian también lo es [math] U ^ HAU [/ math], [math] (U ^ HAU) ^ H = U ^ HA ^ HU = U ^ HAU [/ math] .

2. Si Hermitain también es triangular, debe ser diagonal.

Hemos probado el teorema espectral. Ahora prueba el lema de Schur:

Deje que [math] A [/ math] sea una matriz [math] n \ times n [/ math]. Tenemos al menos un valor propio de [math] A [/ math], vamos a [math] Ax_1 = \ lambda_1x_1 [/ math], donde [math] \ lambda_1 [/ math] es el eignevalue y [math] x_1 [/ math ] es un vector propio normal. Ponga [math] x_1 [/ math] en la primera columna de [math] U_1 [/ math]. Completamos las otras columnas de [math] U_1 [/ math] como bases normales (que siempre se puede hacer mediante el proceso de Gram-Schmidt). Podemos escribir

[matemáticas] AU_1 = U_1 \ left [\ begin {array} {ccccc} \ lambda_1 & * & * & \ cdots & * \\ 0 & * & * & \ cdots & * \\ 0 & * & * & \ cdots & * \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & * & * & \ cdots & * \ end {array} \ right] [/ math] o, [math] U_1 ^ HAU_1 = \ left [\ begin {array} {ccccc} \ lambda_1 & * & * & \ cdots & * \\ 0 & * & * & \ cdots & * \\ 0 & * & * & \ cdots & * \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & * & * & \ cdots & * \ end {array} \ right] [/ math]

En el segundo paso, trabaja en la matriz [math] (n-1) \ times (n-1) [/ math] en la esquina inferior derecha de [math] U_1 ^ HAU_1 [/ math]. Esta matriz tiene al menos un valor propio [math] \ lambda_2 [/ math] y un vector propio de unidad [math] x_2 [/ math]. Ponga [math] x_2 [/ math] en la primera columna de la matriz unitaria [math] M_2 [/ math]. Podemos construir una matriz unitaria [matemática] U_2 [/ matemática]

[matemáticas] U_2 = \ left [\ begin {array} {ccccc} 1 & 0 & 0 & \ cdots & 0 \\ 0 &&&& \\ 0 && M_2 && \\\ vdots &&&& \\ 0 &&&& \ end {array} \ right] [/ math] y, [math] ( U_1 ^ HAU_1) U_2 = U_2 \ left [\ begin {array} {ccccc} \ lambda_1 & * & * & \ cdots & * \\ 0 & \ lambda_2 & * & \ cdots & * \\ 0 & 0 & * & \ cdots & * \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & * & \ cdots & * \ end {array} \ right] [/ math]

es decir, [matemáticas] U_2 ^ H (U_1 ^ HAU_1) U_2 = \ left [\ begin {array} {ccccc} \ lambda_1 & * & * & \ cdots & * \\ 0 & \ lambda_2 & * & \ cdots & * \\ 0 & 0 & * & \ cdots & * \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & * & \ cdots & * \ end {array} \ right] [/ math]

Del mismo modo podemos mostrar

[matemáticas] U_n ^ H (\ cdots (U_3 ^ H (U_2 ^ H (U_1 ^ HAU_1) U_2) U_3) \ cdots) U_n = \ left [\ begin {array} {ccccc} \ lambda_1 & * & * & \ cdots & * \\ 0 & \ lambda_2 & * & \ cdots & * \\ 0 & 0 & \ lambda_3 & \ cdots & * \\\ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots & \ vdots \\ 0 & 0 & 0 & \ cdots & \ lambda_n \ end {array} \ right] [/ math]

o, [matemática] U ^ HAU = T [/ matemática], donde [matemática] U = U_1U_2U_3 \ cdots U_n [/ matemática].