¿Cuál es el número entero positivo más pequeño [matemática] n [/ matemática], que termina en el dígito [matemática] 6 [/ matemática], de modo que al mover [matemática] 6 [/ matemática] al principio obtienes [matemática] m = 4 \ veces n [/ matemáticas]?

Answer 1

Este es un problema interesante. Así que formulemos esto matemáticamente.

Deje [math] \ displaystyle n = 10 * A +6 [/ math] que es el número es de la forma [math] A6 [/ math], donde A es un bloque de dígitos con longitud [math] \ displaystyle x \ ge 1 [/ matemáticas]

Ahora [matemáticas] \ displaystyle m = 4 * n [/ matemáticas], es decir

[matemáticas] \ displaystyle 6 * 10 ^ x + A = 4 * (10 * A +6) [/ matemáticas]. dado que 6 se mueve al frente del número, el número ahora se puede escribir como 6000..00 (el cero ocurre x veces) + A

es decir, [math] \ displaystyle A = \ frac {2 * 10 ^ x-8} {13} [/ math].

Por lo tanto, si encontramos la x más pequeña tal que [math] \ displaystyle2 * 10 ^ x -8 [/ math] es divisible por 13, terminamos (podemos conectar esto en un programa y resolverlo también, sin embargo, esto no es demasiado difícil).

Para esto usaremos los principios básicos del módulo de congruencia,

[matemáticas] \ displaystyle 10 \ equiv 10 (mod 13) \ equiv -3 (mod 13) [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemática] \ displaystyle 10 ^ x \ equiv (-3) ^ x (mod 13) [/ matemática]

y [matemáticas] \ displaystyle 2 * 10 ^ x-8 \ equiv 2 * (- 3) ^ x-8 (mod 13) [/ matemáticas]

Las potencias de -3 dan un patrón de -3, -9, -1,3, -9,1, -3 … que se repite con respecto al módulo 13.

Lo que quise decir con la línea anterior es que

[matemáticas] \ displaystyle -3 \ equiv -3 (mod 13) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle -3 ^ 2 \ equiv 9 (mod 13) [/ matemáticas]

[matemáticas] \ displaystyle -3 ^ 3 \ equiv -1 (mod 13) [/ matemáticas]

y que este resto sigue un patrón cíclico. Observe que solo esa x que hace que [matemáticas] 10 ^ x [/ matemáticas] dé un resto de -9 con 13, solo hace que el número entero sea divisible por 13.

Por lo tanto, x tiene la forma [math] \ displaystyle 6k + 5 [/ math], donde k es un entero no negativo.

Por lo tanto, el más pequeño [matemático] \ displaystyle x = 5 [/ matemático] y [matemático] \ displaystyle A = \ frac {2 * 10 ^ x-8} {13} = 15384 [/ matemático]

Por lo tanto, el número más pequeño para satisfacer es 153846 .

El siguiente número es cuando [math] \ displaystyle x = 11 [/ math]

Por lo tanto, la solución general de es el número [math] \ displaystyle A6 [/ math], donde [math] \ displaystyle A = \ frac {2 * 10 ^ {6k + 5} -8} {13} [/ math], donde k es un número entero no negativo.

Siéntase libre de corregir / sugerencias.

Gracias. ~ AP

Answer 2

supongamos que n tiene la forma de A6, entonces m tiene la forma 6A

supongamos que A tiene k dígitos

entonces

[matemáticas] n = 10A + 6, m = 6 \ cdot 10 ^ k + A [/ matemáticas]

y debemos tener

[matemáticas] 6 \ cdot 10 ^ k + A = 4 (10A + 6) [/ matemáticas]

resolver [matemáticas] A [/ matemáticas] en términos de [matemáticas] k [/ matemáticas]

[matemáticas] 13A = 2 (10 ^ k – 4) [/ matemáticas]

ahora solo necesitamos encontrar la k más pequeña que haga que [matemática] 10 ^ k – 4 [/ matemática] sea divisible por 13

calculamos la lista de restos de [matemática] 10 ^ k [/ matemática] dividida por [matemática] 13 [/ matemática]

[matemáticas] 10, 9, 12, 3, 4 [/ matemáticas]

entonces [matemáticas] k = 5 [/ matemáticas] y [matemáticas] A = \ frac {2 (10 ^ 5 – 4)} {13} = 15384, n = 153846 [/ matemáticas]

Answer 3

Deje que A sea una solución. Consideremos un número B = 0.A, es decir, escríbalo después del punto decimal. Entonces la operación se verá ahora como sigue

1. Restar (un pequeño) número a = 0.0… 6
2. Añadir 6
3. Dividir en 4
4. Dividir en 10. Deberíamos obtener 0.A nuevamente.

La tercera media 40 * B = B + 6 – a y

B = 6/39 – a / 39

6/39 = 0.153846153846…. o 0. (153846)

Ahora, a / 39 = 0.0 … 6/39 = 0.0 … .0153 … y, después de restarlo del decimal infinito 6/39, deberíamos obtener un decimal finito, para saber cuántos ceros hay en el número “a”: 5 + 6 * n.

El número mínimo A es 153846, todas las soluciones son ese número A repetido varias veces.

Answer 4

Hola,

Escribí un programa rápido de Python para responder esta pregunta:

bandera = falso
n = 0
def numbDigits (n): return len (str (n))

while flag == False:
val = 10 * n + 6
numb = numbDigits (val)
si val * 4 == (val + 6 * 10 ** entumecido – 6) / 10:
bandera = verdadero
n + = 1

imprimir val

Salió 153846

Answer 5

153846 × 4 = 615384.

Cómo conseguir esto:

m comienza con 6, por lo tanto n = m / 4 comienza con 1. Esto a su vez le dice que m comienza con 61, luego n debe comenzar con 15 … Repita hasta que vea que el dígito 6 aparece en n.

Answer 6

Para comenzar, sabemos que el último dígito de [matemáticas] 4n [/ matemáticas] es 4, que debe ser el último dígito de [matemáticas] m [/ matemáticas], por lo tanto, el dígito de las decenas de [matemáticas] n [/ matemáticas] debe ser [matemáticas] 6 [/ matemáticas]. Podemos reescribir un [math] k [/ math] -digit number [math] n [/ math] como

[matemáticas] n = \ sum_ \ límites {i = 2} ^ {k} n_i10 ^ i + 46. [/ matemáticas]

[math] \ newcommand \ floor [1] {\ lfloor # 1 \ rfloor} [/ math]

[matemáticas] m = 6 \ cdot {10 ^ k} + \ sum_ \ limits {i = 2} ^ {k} n_i10 ^ {i-1} +4 = 4n = \ sum_ \ limits {i = 2} ^ { k} 4n_i10 ^ i + 184 \ implica [/ matemáticas]

[matemática] 6 \ cdot {10 ^ k} -180 = \ sum_ \ limits {i = 2} ^ {k} 4n_i10 ^ i – \ frac {1} {10} n_i10 ^ i \ implica 6 \ cdot {10 ^ k} -180 = 3.9 \ sum_ \ límites {i = 2} ^ {k} n_i10 ^ i \ implica [/ matemática]

[matemáticas] 6 \ cdot {10 ^ k} -180 = 3.9n-179.4 \ implica 6 \ cdot {10 ^ k} = 3.9n + 0.6. [/ matemáticas]

Podemos reescribir [math] k [/ math] en función de [math] n [/ math] con [math] \ floor {\ log {n}} + 1 [/ math] y sustituirlo de la siguiente manera:

[matemáticas] 6 \ cdot {10 ^ {\ floor {\ log {n}} + 1}} = 3.9n + 0.6 \ implica 6 \ cdot {10 ^ {\ floor {\ log {n}} + 1}} – 3.9n + 0.6 = 0 [/ matemáticas]

Esta afirmación es verdadera para [matemáticas] n = 153486 [/ matemáticas].