¿Cuál es la suma de [matemáticas] C_n ^ i C_n ^ j [/ matemáticas] hasta [matemáticas] n [/ matemáticas], donde [matemáticas] 0 \ leq i <j \ leq n [/ matemáticas]?

Answer 1

Hay dos buenos métodos para resolver esta pregunta.

• Método algebraico
• Método CS

Método algebraico : Identifique que [matemáticas] 2 \ sumC_iC_j [/ matemáticas] es el término en la expansión de [matemáticas] {(C_0 + C_1 + C_2… C_n)} ^ 2 – ({C_0} ^ 2 + {C_1} ^ 2+ {C_2} ^ 2 .. {C_n} ^ 2) [/ math]. De la expansión binomial de [matemáticas] (1 + x) ^ n [/ matemáticas], sabemos que [matemáticas] (\ sum [/ matemáticas] [matemáticas] _ {i = 0} ^ {n} C_i) ^ 2 = 2 ^ 2n [/ matemáticas] y [matemáticas] \ sum_ {i = 0} ^ {n} (C_i) ^ 2 = {2n \ elegir n} [/ matemáticas], por lo tanto, el valor de [matemáticas] \ sum C_iC_j = \ frac {2 ^ n- {2n \ elegir n}} {2} [/ math].

Método CS: si uno tiene experiencia en programación CS, es posible que haya encontrado con frecuencia matrices 2D. Por lo tanto, uno puede visualizar la pregunta como la matriz triangular superior de una matriz 2D. Por lo tanto, la respuesta será [matemáticas] \ frac {\ sum_ {i = 0} ^ {n} \ sum_ {j = 0} ^ {n} C_iC_j- \ sum_ {i = 0} ^ {n} ({C_i} ) ^ 2} {2} [/ math] que es lo mismo que derivamos algebraicamente, igual a [math] \ frac {2 ^ n- {2n \ choose n}} {2} [/ math].

[matemáticas] \ blacksquare [/ matemáticas]

Answer 2

Espero que sepa si la identidad [matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {n} {{n} \ elegir {i}} {{n} \ elegir {i}} = {{2n} \ elegir {n }} .[/matemáticas]

Entonces tu suma

[matemáticas] \ sum_ {i = 1} ^ {n} {{n} \ elegir {i}} \ big \ {2 ^ n – {{n} \ elegir {i}} \ big \} = 2 ^ n \ sum_ {i = 1} ^ {n} {{n} \ elegir {i}} – \ sum_ {i = 1} ^ {n} {{n} \ elegir {i}} {{n} \ elegir { i}} = 2 ^ n2 ^ n – \ sum_ {i = 1} ^ {n} {{n} \ elegir {i}} {{n} \ elegir {i}} = 2 ^ {2n} – {{ 2n} \ elegir {n}} [/ matemáticas]