¿Por qué no hay campo isomorfo con [math] (\ mathbb R ^ 3, +) [/ math] como [math] (\ mathbb C, +) [/ math] es isomorphic con [math] (\ mathbb R ^ 2, +) [/ matemáticas]?

Answer 1

Los cuaternarios forman un álgebra de división en lugar de un campo, pero de hecho podemos considerar primero los campos y desarrollar esa teoría para responder a la pregunta de por qué no hay un álgebra de división real de dimensión 3.

Es esencialmente porque los polinomios reales de grado 3 deben tener una raíz.

Campos:

Bien, imaginemos que tenemos un campo F que es un espacio vectorial sobre otro campo K. Tenemos un elemento [matemático] 1 \ en F [/ matemático] para que podamos encontrar un subcampo en F isomorfo a K, que es el lineal K-subespacio generado por 1.

De manera similar, si F tiene un subcampo isomorfo a K, lo llamamos una extensión de campo de K, a menudo escribimos este F \ K. En este caso, también cumple las condiciones para ser un espacio vectorial sobre K. Llamamos a la dimensión del espacio vectorial K de F el grado de extensión del campo.

En esencia, lo que estamos buscando es una extensión de campo de grado 3.

Supongamos que F es una extensión de grado 3 de los reales.

Si tenemos algo de [math] \ alpha \ en F [/ math], entonces el conjunto {[math] 1, \ alpha, \ alpha ^ {2}, \ alpha ^ {3} [/ math]} no puede ser linealmente independiente . Por lo tanto, [math] \ alpha [/ math] debe satisfacer algún polinomio de grado como máximo 3. Llamamos a dicho polinomio el polinomio mínimo de [math] \ alpha [/ math].

Tenemos un teorema realmente bueno que dice que cualquier extensión de campo de grado finito de los reales es simple. Esto significa que es generado por un solo elemento, [math] \ beta [/ math] say, y hay una base {[math] 1, \ beta,…, \ beta ^ {n-1} [/ math]}. Donde n es el grado de extensión del campo. En particular, esto significa que el polinomio mínimo de [math] \ beta [/ math] es un polinomio real irreducible (no tiene raíces) de grado n.

Entonces podemos elegir nuestro [math] \ alpha \ en F [/ math] para que satisfaga un polinomio irreducible de grado 3. Excepto que esto es una contradicción, cualquier polinomio de grado real 3 tiene una raíz sobre los reales, por lo que no es irreducible.

Por lo tanto, por contradicción no hay una exención de campo de grado 3.

Álgebras de la División:

Un álgebra de división es esencialmente un campo no conmutativo.

Supongamos que hay una división de álgebra, F, que también es un espacio vectorial real de dimensión 3. Luego, si tomamos [matemáticas] x \ en F [/ matemáticas] podemos definir una transformación lineal, L, en F por [matemáticas] L (y) = xy [/ matemáticas].

Cada transformación no trivial en un espacio vectorial de dimensión 3 tiene un vector propio, porque su polinomio característico es un polinomio real de grado 3.

Por lo tanto, hay [matemática] y \ en F [/ matemática] y [matemática] \ lambda en \ mathbb {R} [/ matemática] tal que [matemática] L (y) = xy = \ lambda y [/ matemática]. Aquí es tentador decir simplemente [math] x = \ lambda [/ math] y así [math] F = \ mathbb {R} [/ math]. Sin embargo, no está realmente claro lo que eso significa aquí, [math] x [/ math] es esencialmente un elemento de [math] \ mathbb {R} ^ {3} [/ math] y no puede ser igual a un escalar.

Sin embargo, lo que podemos hacer es deducir que [math] x [/ math] actúa como [math] \ lambda [/ math] multiplicativamente. En particular, [math] (x- \ lambda) y = 0 [/ math] significa [math] (x- \ lambda) yy ^ {- 1} z = (x- \ lambda) z = 0 [/ math].

Entonces, si tomamos [matemáticas] x, y \ en F [/ matemáticas] entonces [matemáticas] xy = xy1 = \ lambda_ {x} \ lambda_ {y} 1 = \ lambda_ {y} \ lambda_ {x} 1 = yx1 = yx [/ matemáticas].

Por lo tanto, nuestro álgebra de división es conmutativa y, por lo tanto, un campo. Por lo tanto, debe ser una extensión de campo de grado 3 de los reales. Antes, sin embargo, probamos que no existe tal extensión.

Así que de nuevo por contradicción, no podemos encontrar tal álgebra de división.

Todos estos argumentos funcionan más generalmente sobre cualquier dimensión extraña. Es posible que desee pensar si puede encontrar álgebras de división de grado 2n, para [matemáticas] n> 2 [/ matemáticas].

Answer 2

¡Oh, pero lo hay! Elija (con la ayuda del axioma de elección) dos bases de [math] \ mathbb {R} [/ math] y [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] como espacios vectoriales sobre [math] \ mathbb {Q} [/ matemáticas]. Ambas bases tienen cardinalidad [matemática] 2 ^ {\ aleph_0} [/ matemática] ya que ninguna cardinalidad más pequeña generaría (sobre [matemática] \ mathbb {Q} [/ matemática]) todo el espacio, y cualquier cardinalidad más grande no ‘ No cabe en el espacio. Por lo tanto, existe una biyección entre ambas bases, y esto se extiende a una transformación lineal invertible entre ambos espacios, que a su vez restringe a un isomorfismo de grupos abelianos (al olvidar la multiplicación escalar). Entonces [math] \ mathbb {R} [/ math] es un campo isomorfo (como grupo abeliano) al grupo abelian [math] (\ mathbb {R} ^ 3, +) [/ math].

En cambio, lo que no existe es un campo homeomorfo a [math] (\ mathbb {R} ^ 3, +) [/ math], o equivalente, una operación de multiplicación para [math] (\ mathbb {R} ^ 3, +) [/ math] que es continuo con respecto a la topología en [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] y lo convierte en un campo. Demostremos que esto es imposible.

Supongamos, por contradicción, que ya tenemos esa operación, y veamos qué sucede. Para empezar, debe haber un elemento de identidad [math] 1 \ in \ mathbb {R} ^ 3 [/ math]. Deje [math] V [/ math] ser el subespacio generado por [math] 1 [/ math], y considere la biyección entre [math] V [/ math] y [math] \ mathbb {R} [/ math] dada por

[math] x \ mapsto x1. [/ math]

Por las propiedades de la multiplicación escalar, este es un isomorfismo continuo, por lo que la multiplicación vectorial en [matemáticas] V [/ matemáticas] debe coincidir con la multiplicación escalar en [matemáticas] \ mathbb {R} ^ 3 [/ matemáticas]. Como la multiplicación vectorial es continua, la multiplicación en [math] V \ times \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] coincide con la multiplicación escalar. (El argumento hasta ahora equivale a decir que [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] es entonces un [math] \ mathbb {R} [/ math] -algebra, es decir, que la multiplicación vectorial es compatible con la multiplicación escalar )

Ahora elija un [math] u \ in \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] que no está en [math] V [/ math]. Deje [math] W = \ text {Span} \ {1, u \} [/ math] y considere [math] u ^ 2 [/ math]. Supongamos, por contradicción, que [matemáticas] u ^ 2 \ en W [/ matemáticas], de modo que [matemáticas] u ^ 2 = p + qu [/ matemáticas] para algunas [matemáticas] p [/ matemáticas] y [matemáticas] q [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] W [/ matemáticas] tiene una regla de multiplicación que se parece a

[matemática] (a + bu) (c + du) = (ac + bdp) + (ad + bc + bdq) u. [/ math]

Si establece el lado derecho igual a 1 y resuelve [math] c [/ math] y [math] d [/ math], encontrará que cada elemento distinto de cero en [math] W [/ math] tiene un inverso en [matemáticas] W [/ matemáticas]. (Este debe ser el caso porque si un elemento no fuera invertible, entonces sería un divisor cero). Por lo tanto, [math] W [/ math] es un subcampo de [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] de dimensión 2 y, por lo tanto, [math] W \ cong \ mathbb {C} [/ math], que implica además que [math] \ mathbb {R} ^ 3 \ cong \ mathbb {C} \ oplus \ mathbb {R} [/ math].

Ahora elija [math] v \ notin W [/ math], de modo que [math] \ {1, i, v \} [/ math] sea la base de [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math ] Considere [math] iv = \ alpha + rv [/ math], con [math] \ alpha \ in \ mathbb {C} [/ math] y [math] r \ in \ mathbb {R} [/ math]. Entonces

[matemáticas] -v = i ^ 2v = i (\ alpha + rv) = i \ alpha + r (iv) [/ matemáticas]

[matemáticas] -v = i \ alpha + r \ alpha + r ^ 2v [/ matemáticas]

Esto implica [matemática] \ alpha = 0 [/ matemática] y [matemática] r ^ 2 = -1 [/ matemática], lo cual es absurdo porque [matemática] r [/ matemática] es real. Por lo tanto, [math] u ^ 2 [/ math] no puede estar en [math] W [/ math]. Esto significa que [math] \ {1, u, u ^ 2 \} [/ math] es una base para [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math], y tenemos

[matemáticas] u ^ 3 = j + ku + lu ^ 2 [/ matemáticas], por lo tanto [matemáticas] u ^ 3 – lu ^ 2 -ku – j = 0 [/ matemáticas].

Esto implica que [math] \ mathbb {R} ^ 3 \ cong \ mathbb {R} [u] / \ langle u ^ 3 – lu ^ 2 – ku – j \ rangle [/ math], que no es un campo porque [matemáticas] \ langle u ^ 3 – lu ^ 2 – ku – j \ rangle [/ matemáticas] no es un ideal máximo (el polinomio tiene una raíz real). Otra contradicción. Esto completa la prueba.

Para resumir, [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] no puede ser un campo porque las relaciones que definen la multiplicación no generan un ideal máximo en el anillo polinomial correspondiente, mientras que un cociente de un anillo por un ideal solo puede ser un campo si el ideal es máximo.

Answer 3

No estoy completamente seguro de que esto responderá su pregunta por completo, pero tenga en cuenta que [math] \ mathbb {C} ^ {n} [/ math] es isomorfo a [math] \ mathbb {R} ^ {2n} [/ math ] Para que [math] \ mathbb {R} ^ 3 [/ math] sea isomorfo a un campo complejo, necesitaríamos un campo [math] \ mathbb {C} ^ {\ frac {3} {2}} [/ math ] y eso es difícil de imaginar.