¿Cómo puede un matemático saber de antemano si una conjetura determinada en la que está trabajando puede probarse que es correcta o incorrecta?

Answer 1

Desde mi pequeño conocimiento, creo que cualquier conjetura proviene de algunos eventos / casos / procesos / fenómenos. El desafío del matemático es explicar esos fenómenos utilizando técnicas y lógica matemática. Y hay algunos procedimientos para derivar una prueba o conclusión matemática. No es más que resolver un problema. Y para resolver cualquier problema, uno puede arreglar una DESCRIPCIÓN DE META e intentar alcanzar la META. Ahora los dos términos DESCRIPCIÓN DE META y META no son iguales todo el tiempo. Para la mayoría de los casos, la DESCRIPCIÓN DE META de un matemático o solucionador de problemas difiere de la META real .

Ahora podemos concluir que los matemáticos nunca trabajan para probar solo una conjetura, tienen más que conjeturas y su motivo es explicar los casos / procesos / fenómenos con cualquiera de las conjeturas. También es cierto que en algún momento si se rechaza una conjetura, entonces, por contradicción, el objetivo final se puede lograr en muchos casos. Por lo tanto, demostrar una conjetura como falsa es tan importante como demostrar que es correcta en muchos casos. Entonces, los matemáticos nunca deberían pensar de la manera que usted lo dijo.

Answer 2

Hay una vieja broma sobre un matemático que pasa la mitad de su tiempo tratando de probar la conjetura de Poincaré, y la otra mitad tratando de refutarla (esto es definitivamente en “Cómo no estar equivocado” de Ellenberg, aunque creo que lo escuché antes). La mayoría de las personas no son tan extremas: tienden a tener una opinión de antemano sobre la verdad de la falsedad de lo que están tratando de probar, pero lo estás haciendo mal si realmente crees que lo sabes. Ciertamente, es muy común tener una declaración que creas que probarás, y luego probar una que sea sutilmente diferente; a menudo uno se realiza principalmente con la prueba antes de estar seguro de cuál será el resultado.

Answer 3

Me recuerda la descripción de la matemática Julia Robinson a los administradores universitarios de cómo pasó una semana típica:

“El lunes, trató de probar el teorema, el martes, trató de probar el teorema, el miércoles, trató de probar el teorema, el jueves, trató de probar el teorema, el viernes, el teorema fue falso”.

Fuente: Perfiles de mujeres en matemáticas: Julia Robinson

Answer 4

Los matemáticos comienzan con una corazonada: intuición. Es posible que hayan visto dos cosas que, en cierto sentido, están relacionadas o son análogas, y se preguntaron si indican un principio más general.

No saben si están en lo correcto hasta que se realiza el trabajo (y se verifican todas las formas posibles en caso de error).

Answer 5

No pueden saberlo. Esa es la razón por la que uno debe desarrollar una prueba. Ante la prueba solo tienen su intuición. La intuición puede estar equivocada.

Historia real: Al principio de mi tiempo como estudiante de doctorado, mi asesor me entregó un manuscrito para un trabajo en el que estaba trabajando con otro autor. Me dijo que mirara un teorema particular. Él y el coautor estaban teniendo dificultades para encontrar una prueba de ello. Obedientemente salí y traté de encontrar una prueba. Un par de días después, mi asesor me preguntó si había avanzado en la prueba. Le dije que había intentado varios enfoques diferentes, pero choqué con los obstáculos en cada uno de ellos. Luego dijo algo como “Hmm … Me pregunto si es falso”. Diez minutos después tuve un contraejemplo y una prueba de que violaba la conjetura.

El punto de la historia es que su intuición puede llevarlo a pensar que algo es verdad. Puedes estar casi seguro de ello, pero puedes estar equivocado. En el caso de la historia anterior, supuse que si mi asesor pensaba que el teorema era verdadero, debía serlo. Esa fue una mala suposición. La experiencia fue una lección extremadamente valiosa.

Answer 6

Desde mi experiencia, es un proceso de ping pong.

Puede comenzar tratando de refutarlo. Buscando ejemplos de contador, tratando de construirlos de una manera que obligue a que la conjetura no se mantenga. Cuando fallas, tratas de señalar esa propiedad que no te permitió crear tal y ejemplo, y tratas de demostrarlo.

También funciona al revés, puede intentar probar algo y luego llegar a un punto crítico en la prueba, que no puede justificar. Entonces puede intentar encontrar ejemplos contrarios a esa afirmación específica.

Por lo tanto, avanzar y refutar a menudo se entrelazan y son un proceso combinado

Answer 7

Resulta que no necesitas saber de antemano. Por lo general, si estás trabajando en una conjetura es porque esperas o esperas que sea cierta. Así que intentarás demostrar que es verdad. Mientras intentas hacer esto, estás acumulando conocimiento e intuición sobre la conjetura. Si resulta ser cierto, con suerte terminarás probándolo. Si resulta ser falso, seguirás tropezando con obstáculos. Los obstáculos y el aumento de la intuición y la comprensión lo llevarán a una prueba de que no es cierto o lo harán reconsiderar e intentar probar que no es cierto. Si tienes suerte, terminarás con una prueba de una forma u otra.

Answer 8

Tengo una mejor manera de verlo. No estás seguro de si un axioma dado es correcto o incorrecto. Ciertamente no puedes encontrar nada que lo demuestre. Bueno, si no puede demostrar que es cierto, siempre puede intentar demostrar que es falso.

Pero si lo supiera de antemano, entonces nunca habría necesidad de pruebas.