Cómo encontrar el último dígito de [matemáticas]> 2 ^ {999} [/ matemáticas] usando patrones

Answer 1

Me sorprende que nadie lo haya mencionado todavía, pero el último dígito de un número es el resto de ese número módulo 10. Por lo tanto, debe encontrar ([matemáticas] 2 ^ {999} \ mod \ 10 [/ matemáticas]). Para hacerlo, se puede usar el teorema del recordatorio chino. Implica que para cualquier X tal que:

[matemáticas] X = 2 ^ {999} \ mod \ 2 [/ matemáticas]

Y

[matemáticas] X = 2 ^ {999} \ mod \ 5 [/ matemáticas]

se cumple lo siguiente:

[matemáticas] X = 2 ^ {999} \ mod \ 10 [/ matemáticas]

Ahora, [matemáticas] 2 ^ {999} \ mod \ 2 [/ matemáticas] es claramente 0 (significa que nuestra X debe ser par). Para evaluar ([matemáticas] 2 ^ {999} \ mod \ 5 [/ matemáticas]) tenga en cuenta que: [matemáticas] 2 ^ 4 \ mod \ 5 = 16 \ mod \ 5 = 1 \ mod \ 5 [/ matemáticas], por lo tanto, podemos eliminar cualquier múltiplo de 4 del exponente. 1000 es un múltiplo así, así es 996. Por lo tanto, [matemática] 2 ^ {999} \ mod \ 5 = 2 ^ 3 \ mod \ 5 = 3 \ mod \ 5 [/ matemática]. Por lo tanto, estamos buscando un número par que tenga 3 como resto cuando se divide entre 5. Entre los restantes módulo 10 solo hay uno de esos números, es decir, 8.

La ventaja de este método es que se generaliza fácilmente para cualquier notación posicional (por ejemplo, hexadecimal).

Answer 2

Oye ,

Básicamente, para encontrar el último dígito de cualquier patrón como este, puede seguir el método de ciclicidad.

2 ^ 1 = 2

2 ^ 2 = 4

2 ^ 3 = 8

2 ^ 4 = 6

2 ^ 5 = 2

Lo que se ha escrito arriba es el dígito unitario para 2 cuando se eleva a potencia y lo que podemos concluir es que comienza a repetirse después de 4

Entonces la ciclicidad de 2 es 4

Ahora divide la potencia que es 999 con 4 y calcula el resto que es 3

Entonces 2 ^ 3 = 8, entonces el último dígito será 8.

Funciona para todos los números del 0 al 9 elevados a cualquier potencia.

Gracias

Espero que te ayude.

Answer 3

La respuesta es 8.

Aquí le mostramos cómo obtener la respuesta:

Primero, intenta identificar un patrón observando el último dígito de resultados para exponentes consecutivos:

2 ^ 1 = 2… Último dígito: 2

2 ^ 2 = 4… Último dígito: 4

2 ^ 3 = 8 … Último dígito: 8

2 ^ 4 = 16 … Último dígito: 6

2 ^ 5 = 32… Último dígito: 2

2 ^ 6 = 64… Último dígito: 4

2 ^ 7 = 128… Último dígito: 8

2 ^ 8 = 256… Último dígito: 6

2 ^ 9 = 612 … Último dígito: 2

Como se puede ver, la secuencia repetida para el último dígito es 2,4,8,6.

Como la secuencia tiene 4 dígitos, puede sacar 4 de 2 ^ x (siempre que x> 4) y terminar con el mismo último dígito.

Por lo tanto, podemos dividir 999 por 4 y usar el resto para encontrar a qué número de la secuencia pertenece el último dígito (todos los grupos de 4 divididos son redundantes).

249 resto 3 es el resultado. El 3 es importante.

Ahora encuentras el tercer dígito en la secuencia, que es 8.

.

Así llegamos a la respuesta: el último dígito de 2 ^ 999 es 8.

Answer 4

¡Estoy llamando “tarea” en este caso! [:RE

Mire el último dígito de todos los exponentes de 2 que comienzan con 1 y avanzan tanto como sea necesario para ver un patrón en el último dígito de la respuesta. Tome el módulo de 999, agregue 1, y esa es la posición en el patrón que corresponde a la respuesta correcta.

[matemáticas] 2 ^ 1 = 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 2 = 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ 3 = 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] etc. [/ matemáticas]

No estoy seguro si he redactado esto con suficiente claridad, pero buena suerte con eso.

¿Cómo encuentro el último dígito de> 2999 usando patrones?

Answer 5

Los poderes de 2 terminan sucesivamente con 2, 4, 8 y 6 y luego se repiten. Entonces 2 a la primera potencia es 2 y 2 a la quinta potencia es 32 también con el último dígito 2. 999 dividido por 4 es 249 con un resto de 2, por lo que el último dígito de 2 a la potencia 999 sería 4.

Answer 6

[matemáticas] 2 ^ {4n + 1} → 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ {4n + 2} → 4 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ {4n + 3} → 8 [/ matemáticas]

[matemáticas] 2 ^ {4n + 4} → 2 ^ {4n} → 6 [/ matemáticas]

Por lo tanto, como [matemáticas] 999 = 4n + 3 [/ matemáticas], [matemáticas] 2 ^ {999} → 8 [/ matemáticas]

Por lo tanto, el último dígito de [matemáticas] 2 ^ {999} [/ matemáticas] es [matemáticas] 8 [/ matemáticas]

…