Para cualquier intervalo [matemática] [a, b] [/ matemática] ¿cómo demostramos que [matemática] \ frac {a + b} {2} [/ matemática] es un elemento de [matemática] [a, b] [ /matemáticas]?

Answer 1

Para que el intervalo no esté vacío, [math] b \ ge a [/ math].

[matemáticas] a – b \ le 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (a – b) + (a + b) \ le (a + b) [/ matemáticas]

[matemáticas] 2a \ le a + b [/ matemáticas]

[matemáticas] a \ le \ dfrac {a + b} {2} [/ matemáticas]

Para obtener la otra expresión, podemos comenzar desde [math] b \ ge a [/ math] nuevamente:

[matemáticas] b – a \ ge 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] (b – a) + (a + b) \ ge (a + b) [/ matemáticas]

[matemáticas] 2b \ ge a + b [/ matemáticas]

[matemáticas] b \ ge \ dfrac {a + b} {2} [/ matemáticas]

Por lo tanto, tenemos estas 2 declaraciones verdaderas:

[matemáticas] a \ le \ frac {a + b} {2} [/ matemáticas] y [matemáticas] \ frac {a + b} {2} \ le b [/ matemáticas]

Esos 2 se pueden combinar para darnos:

[matemáticas] a \ le \ dfrac {a + b} {2} \ le b [/ matemáticas]

Answer 2

¿Qué significa que [matemáticas] [a, b] [/ matemáticas] sea un intervalo? Significa

(1) [matemáticas] a \ leq b [/ matemáticas]

Entonces, ¿qué significa que [matemáticas] c [/ matemáticas] sea un elemento de [matemáticas] [a, b] [/ matemáticas]?

(2) [matemáticas] c \ en [a, b] \ iff a \ leq c \ land c \ leq b [/ math]

Por lo tanto, debe mostrar que (*) [matemáticas] a \ leq \ frac {a + b} {2} [/ matemáticas] y (**) [matemáticas] \ frac {a + b} {2} \ leq b [/matemáticas].

Necesitará las siguientes reglas:

(3) [matemáticas] a \ leq b \ implica c + a \ leq c + b [/ matemáticas]

(4) [math] ab \ leq c \ iff a \ leq \ frac {c} {b} [/ math], if [math] b \ gt 0 [/ math]

Ahora, siga el razonamiento hacia atrás para mostrar (*) [matemáticas] a \ leq \ frac {a + b} {2} [/ matemáticas]:

(* .1) [matemáticas] 2a \ leq a + b [/ matemáticas], por (4)

(* .2) [matemáticas] a \ leq b [/ matemáticas], por (3)

(* .3) hecho! por 1)

La prueba de (**) es similar. Así es como hacer pruebas: explore sus opciones mirando primero las definiciones, luego las propiedades (reglas) que tienen.

Answer 3

Para probar eso, debemos demostrar que es menor o igual a b (ya que los corchetes son de esos tipos) y mayor o igual que a. Aunque es bastante obvio

Podemos dividir [matemática] \ frac {a + b} {2} [/ matemática] en [matemática] \ frac {a} {2} [/ matemática] + [matemática] \ frac {b} {2} [/ matemáticas]

No debería ser difícil probar el resto desde aquí.

[matemáticas] \ frac {b} {2} [/ matemáticas] es obviamente menor que b (y es la mitad)

Si suponemos que [matemática] a \ ne b [/ matemática] entonces [matemática] a

Claramente entonces, [matemática] \ frac {a} {2} [/ matemática] es menor que [matemática] \ frac {b} {2} [/ matemática]

Eso significa que [matemáticas] \ frac {b} {2} + \ frac {a} {2} [/ matemáticas] debería sumar hasta menos de b.

Si suponemos que a = b, entonces [math] \ frac {b} {2} + \ frac {a} {2} [/ math] se suma a b. Claramente.

Entonces [matemáticas] \ frac {a + b} {2} \ le b [/ matemáticas]

Claramente ahora, si a / 2 + a / 2 se suma a a, entonces a / 2 + b / 2 se sumarán a mayor o igual que a (mayor si a

Entonces [matemáticas] \ frac {a + b} {2} \ ge a [/ matemáticas]

Puedes escribirlo así:

[matemáticas] \ displaystyle a \ le \ frac {a + b} {2} \ le b [/ math]

Lo que significa que está en el intervalo.

Answer 4

Primero, tenga en cuenta [matemáticas] a \ le b [/ matemáticas] o de lo contrario nuestro intervalo está vacío. De manera equivalente, [math] ba \ ge 0 [/ math]. (Esto es importante.)

A continuación, tenga en cuenta que

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {a + b} {2} = a + \ frac {ba} {2} [/ matemáticas],

y [math] \ displaystyle \ frac {ba} {2} \ ge 0 [/ math] ya que [math] ba \ ge 0 [/ math] y los racionales positivos están cerrados por multiplicación. Por lo tanto

[matemática] \ displaystyle a + \ frac {ba} {2} \ ge a [/ math], es decir, [matemática] \ displaystyle \ frac {a + b} {2} \ ge a [/ math].

Del mismo modo, tenga en cuenta que

[matemáticas] \ displaystyle \ frac {a + b} {2} = b – \ frac {ba} {2} [/ matemáticas],

de donde [matemáticas] \ displaystyle \ frac {a + b} {2} \ le b [/ matemáticas] por un argumento similar.

Poniendo esto juntos, tenemos

[matemáticas] \ displaystyle a \ le \ frac {a + b} {2} \ le b [/ math],

es decir, [math] \ displaystyle \ frac {a + b} {2} \ in [a, \, b] [/ math].

Answer 5

Para hacer eso, tienes que demostrar que:

1. [matemáticas] \ frac {a + b} {2}> a [/ matemáticas]
2. [matemáticas] \ frac {a + b} {2}

Probemos ambos:

1. Sabemos que [matemáticas] b> a [/ matemáticas], por lo que podemos decir que [matemáticas] \ frac {b} {2}> \ frac {a} {2} [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemática] \ frac {a + b} {2}> a [/ matemática].
2. Una vez más, [matemáticas] a

Answer 6

Muestre que [math] (1 – t) a + tb \ en [a, b] [/ math] por cada [math] t \ in [0, 1] [/ math]. Entonces el caso [matemática] t = 1/2 [/ matemática] se cae automáticamente.

Answer 7

Podemos suponer que a es menor o igual que b (si b fuera mayor que a, el conjunto estaría vacío). De esto, sabemos que b = a + c donde c no es negativo. Si conectamos esto a la fórmula promedio, obtenemos a + c / 2, que nos permite probar algebraicamente que el promedio de ayb es mayor que a:
c> = 0
c / 2> = 0
a + c / 2> = a
Para mostrar que el promedio es menor o igual a b, reescribimos b = a + c como a = bc, y lo conectamos a la desigualdad, dando
bc / 2> = bc
Algebraicamente, podemos obtener b> = bc / 2
Por la definición de [a, b], obtenemos que para cualquier x en [a, b] a <= x <= b. Como hemos probado ambas condiciones, para x = (a + b) / 2, sabemos que el promedio de ayb está en el intervalo [a, b].

Answer 8

Es porque (a + b) / 2 es el valor medio de a y b y, por lo tanto, debe estar en el intervalo entre a y b. El valor no tiene más remedio que estar entre ellos, ya que la media no puede ser mayor o menor que el valor mínimo o máximo en el intervalo. Incluso si ayb son los mismos valores, la media seguirá estando en el intervalo inclusivo.

Answer 9

En palabras de Raghavan Narasimhan, a quien aparentemente le gustaba usarlos en casos como este, “¡Usa la definición!”