¿Cuál es más grande? 3 ^ pi o pi ^ 3? ¿Cómo puedo hacer cálculos mentales con esto?

Answer 1

Como dijo Adam, para números mayores que 1, una buena regla suele ser pequeña ^ grande> grande ^ pequeña. Pero seguí adelante y traté de ver si esto era algo que podría hacer sin una calculadora y parece un poco complicado ya que estos números están bastante juntos, pero tampoco soy matemático. Voy a seguir adelante y asumir Pi = 3.15 (voy a hacer muchas suposiciones). El tenemos 3 ^ 3.15 y 3.15 ^ 3. Comencemos con 3.15 ^ 3.

3.15 ^ 3 = (3 + .15) ^ 3 = 27 + 27 (.15) + 9 (.15) ^ 2 + (.15) ^ 3

Como estamos tratando de hacer esto en nuestra cabeza, eliminemos el término cuadrático y cúbico, de todos modos no contribuirán demasiado.

3.15 ^ 3 = 27 + 27 (.15) = 27 + 2.7 + 1.35 = 31.05

Eso es un poco más grande que la respuesta correcta para Pi ^ 3 pero 3.15 es un poco más grande que Pi. Ahora para la parte difícil, 3 ^ 3.15. Podemos intentar una expansión similar.

3 ^ 3.15 = 3 ^ (3 + .15) = (3 ^ 3) (3 ^ .15) = 27 (3 ^ .15)

Ahora, si solo 3 ^ .15 fuera algo que pudieras hacer en tu cabeza fácilmente … Teníamos 3.15 ^ 3 = 27 +27 (.15) antes, y podemos simplificar eso a 3.15 ^ 3 = 27 (1.15) Luego terminamos con 27 (3 ^ .15) y 27 (1.15) y podemos dividir ambos por 27 para obtener 3 ^ .15 y 1.15. Entonces solo necesitamos saber si 3 ^ .15 es mayor que 1.15. No estoy seguro si eso ayudó a todos, tal vez intente los registros y vea si .15Log (3) es más grande que Log (1.15). 3 es aproximadamente la raíz cuadrada de 10, así que digamos que Log (3) es .5 y luego .15 * .5 es .075. ¿Podemos estimar Log (1.15)? Bueno … Log (1) = 0 y Log (2) deberían ser inferiores a .5 … No me parece útil. Más matemáticas de registro? podemos decir Log (1.15) = Log (11.5 * 10 ^ -1) = Log (11.5) -1, supongo que Log (11.5) es aproximadamente 1.05 lo que nos deja con .075> .05 que significa 3 ^ Pi > Pi ^ 3, pero eso es realmente más experiencia que cualquier otra cosa, así que eso es lo más lejos que puedo llegar a la cima de mi cabeza.

Answer 2

Tiene dos números [matemática] x [/ matemática] y [matemática] y [/ matemática] con [matemática] x> y [/ matemática] y la pregunta es, ¿cuál es mayor [matemática] x ^ y [/ matemática] o [matemáticas] y ^ x [/ matemáticas].

Para responder esto, considere la función [matemáticas] f (x) = x ^ {\ frac {1} {x}} [/ matemáticas] para [matemáticas] x> 0 [/ matemáticas]. La derivada de esta función es

[matemáticas] f ‘(x) = x ^ {\ frac {1} {x} – 2} \ left (1 – \ log x \ right) [/ math]

Esto es positivo para [math] \ log x <1 \ implica x 1 \ implica x> e [/ math]. Esto implica que esta función tiene un máximo en [math] x = e [/ math]. Además, observamos que para [math] x [/ math] muy grande, la función se limita a [math] 1 [/ math]. Entonces, esta función es menor que uno, solo si [matemática] x <1 [/ matemática].

¡Excelente! Tenemos toda la información que necesitamos para responder a su pregunta, y mucho, mucho más. Tomemos casos.

1. Deje [math] x> y> e [/ math]. Luego, por las propiedades de la función, [matemáticas] f (y)> f (x) [/ matemáticas]. Esto implica [matemáticas] x ^ {\ frac {1} {x}} 3 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [matemáticas] \ pi ^ 3 <3 ^ \ pi [/ matemáticas].
2. Deje [math] e> x> y [/ math]. Entonces, por las propiedades de la función, [matemáticas] f (x)> f (y) \ implica x ^ y> y ^ x [/ matemáticas]. Por ejemplo, dado que [math] e> 0.75> 0.5 [/ math], debemos tener [math] 0.75 ^ {0.5}> 0.5 ^ {0.75} [/ math] que es cierto (como puede verificar).
3. Cuando [math] x> e> y [/ math], la pregunta es más complicada y no podemos responder cuál es mayor en general. Sin embargo, al menos en un caso, podemos responder esto. Si tenemos [matemáticas] x> e> 1> y [/ matemáticas], entonces tenemos [matemáticas] f (y) x ^ {1 / x} \ implica x ^ y> y ^ x [/ math].

Answer 3

Así es como podemos resolver esta pregunta usando el cálculo. Es lento, pero evita el cómputo directo. Además, puede usar el método para demostrar que

a ^ b> b ^ a

si a

¡Toma un bolígrafo y papel!

Entonces, queremos reemplazar el signo de interrogación en

3 ^ pi? pi ^ 3

con un signo de desigualdad Tomemos el registro natural de ambos lados, para que estemos viendo

pi log 3? 3 log pi,

o:

(log 3) / 3? (log pi) / pi

Entonces, podemos considerar la función

f (x) = (log x) / x,

ya que ambos lados son instancias de esta función.

Ahora, complete estos ejercicios:

1. encuentre la derivada f ‘(x).
2. Demuestre que f ‘(x) <0 para x> e.
3. Esto significa que f (x) está disminuyendo para x> e, es decir, si a> b> e tenemos f (b)> f (a). Elegir a = pi yb = 3 da la respuesta a la pregunta original.
4. Dejar a y b como variables debería probar el resultado general.

Answer 4

Esto no es tan difícil. Queremos determinar si [matemática] 3 ^ x> x ^ 3 [/ matemática] cuando [matemática] x = \ pi [/ matemática]. Tomando el logaritmo de ambos lados, queremos determinar si [math] x \ ln 3> 3 \ ln x [/ math] porque [math] \ ln [/ math] es una función creciente. En otras palabras, queremos determinar si [math] f (x) = x \ ln 3 – 3 \ ln x> 0 [/ math] para [math] x = \ pi [/ math].

Tenga en cuenta que [matemáticas] f (3) = 0 [/ matemáticas]. Además, [math] \ displaystyle f ‘(x) = \ ln 3 – \ frac {3} {x}> \ ln 3 – 1> 0 [/ math] para [math] x> 3 [/ math], entonces [ matemáticas] f (x) [/ matemáticas] aumenta por encima de [matemáticas] 0 [/ matemáticas] para [matemáticas] x> 3 [/ matemáticas]. Como [math] \ pi> 3 [/ math] se deduce que [math] f (\ pi)> f (3) = 0 [/ math] entonces [math] 3 ^ \ pi> \ pi ^ 3 [/ math ]

Casi cualquier estudiante de primer año de cálculo que sabía lo que estaban haciendo tiene las herramientas para hacerlo. Se necesita un poco de “madurez matemática” para unir correctamente el argumento, es cierto.

Puede sentirse insatisfecho con una solución que usa cálculo, pero es imposible definir rigurosamente la función de potencia para exponentes irracionales sin cálculo, por lo que cualquier argumento sin algún cálculo probablemente tenga que agitar la mano en alguna parte.

Answer 5

Intentemos obtener una idea de esto haciendo algo puramente numérico en Haskell. Veremos si golpear la base o el exponente de [math] x ^ x [/ math] tendrá más efecto. Podemos definir [matemáticas] f_1 [/ matemáticas] y [matemáticas] f_2 [/ matemáticas] para medir estos dos efectos.

$ ghci
>: m + Numeric.AD
>: m + NUmeric.AD.Newton
> let f1 c = diff (\ x-> x ** auto c) c
> let f2 c = diff (\ x-> auto c ** x) c

Al encontrar el punto donde estos son iguales, vemos que es sospechosamente cercano a [math] e [/ math].

> último $ findZero (\ x -> f1 x – f2 x) 3
2.7182818284590455
> f1 (exp 1)
15.154262241479259
> f2 (exp 1)
15.154262241479259

Para nuestro caso aquí,

> f1 3
27,0
> f2 3
29.662531794038966
> f1 3 Cierto

Entonces, cuando [math] x> e, \ epsilon> 0 [/ math] tenemos [math] x ^ {x + \ epsilon}> (x + \ epsilon) ^ x [/ math] Por lo tanto, al menos al primer orden significa cuando [matemática] x, y [/ matemática] están bastante cerca, cuando [matemática] e

Answer 6

Para nuestra conveniencia, tomemos pi = 3.14

Ahora, tomando registro, tenemos,

log (pi ^ 3)
= log3.14 ^ 3
= 3log3.14
= 1.49078895 ——– (i)

De nuevo ,
log (3 ^ pi)
= log3 ^ 3.14
= 3.14log3
= 1.49816072 ——- (ii)

Se ve que el (ii) es ligeramente mayor que (i),

Por lo tanto, 3 ^ pi> pi ^ 3

Answer 7

¿Cuál es más grande: [matemáticas] 3 ^ {4} [/ matemáticas] o [matemáticas] 4 ^ {3} [/ matemáticas]? El primero es 81, mientras que el segundo es solo 64. Eso debería darte una pista. Al ingresarlos en una calculadora, encuentro que [math] 3 ^ {\ pi} [/ math] es un poco menos de 0,54 mayor que [math] \ pi ^ {3} [/ math].

Answer 8

[matemáticas] 3 ^ {\ pi} = 31.54 [/ matemáticas] (redondeado a 2 decimales) y

[math] \ pi ^ 3 = 31.01 [/ math] (redondeado hasta 2 decimales), por lo que [math] 3 ^ {\ pi} [/ math] gana.

No sé qué tipo de matemática mental puedes hacer con números irracionales. Uso de aproximaciones para [matemáticas] \ pi [/ matemáticas] como [matemáticas] 3 [/ matemáticas], [matemáticas] \ frac {22} {7} [/ matemáticas] o incluso [matemáticas] \ frac {355} {113 } [/ math] podría hacer posible la aritmética mental si estás tan inclinado.