¿Cuál es la solución de este problema matemático?

Answer 1

Forma geométrica de resolver esta pregunta:

Del círculo más grande

Área de región sombreada = área de arco formada por el ángulo 2 * a en C1

= ((2a / 2 pi) * pi * r1²) – (r1² * sin a * cos a)

= r1² * (a – sen a cos a) Ecuación 1)

Del mismo modo desde un círculo más pequeño,

Área de región sombreada = área de arco formada por el ángulo 2 * b en C2

= ((2b / 2 pi) * pi * r2²) – (r2² * sin b * cos b)

= r2² * (b – sen b cos b) Ecuación 2)

Restando 1) de 2) es A

por lo tanto,

A = [r2² * (b – sen b cos b)] – [r1² * (a – sin a cos a)] Ecuación 3)

Pero aún no conocemos los ángulos ayb

Supongamos que el centro del círculo más grande está en el origen

C1 == x² + y² = r1²

y la ecuación del círculo más pequeño se convierte

C2 === (xd) ² + y² = r2²

Resolviendo los dos

x = (d² – r2² + r1²) / 2d

y y² = r1² – x²

y = [sqrt (4 * d² * r1² – (d² – r2² + r1²))] / 2d

por lo tanto

sen a = y / r1

cos a = x / r1

sen b = y / r2

cos b = (xd) / r2

a = cos -1 (x / r1)

b = sen -1 (y / r2)

Ponga estos valores en la ecuación 3) para encontrar la relación entre A, r1, r2 y d

Alternativamente,

mira el triángulo formado por dos círculos

r1 cos a – r2 cos b = d

o r1 cos a – d = r2 cos b Ecuación 4)

y r1 sin a = r2 sin b Ecuación 5)

Resolver las ecuaciones 4) y 5) dará a y b y se puede conectar a la ecuación 3) para obtener una ecuación en A, r1, r2 y d.

r2² = r1² + d² – 2 r1 * d * cosa => cos a = (r1² + d² – r2²) / 2 r1 * d

a = cos -1 ((r1² + d² – r2²) / 2 r1 * d)

y

r1² = r2² + d² – 2 r2 * d * cos (pi – b)

r1² = r2² + d² + 2 r2 * d * cos b => cos b = (r1² – d² – r2²) / 2 r2 * d

b = cos -1 ((r1² – d² – r2²) / 2 r2 * d)

Answer 2

Traté de resolver este problema usando cálculo y geometría coordinada. La solución es muy compleja. Así que solo escribiré la idea.

supongamos que la coordenada de C1 es (0,0). Entonces la coordenada de C2 es (d, 0).

La ecuación de C1 es X ^ 2 + Y ^ 2 = r1 ^ 2 y de manera similar para C2 (Xd) ^ 2 + Y ^ 2 = r2 ^ 2

Ahora encuentre el punto de intersección en el primer cuadrante resolviendo estas dos ecuaciones.

deja que el punto de solución sea (r, t)

Como la curva es simétrica respecto al eje X, el área sombreada superior es A / 2.

Ahora integre el área de y = 0 a y = t y equipare el resultado a A / 2.

El resultado de la integración consiste en constantes (d, r1, r2), por lo que podemos obtener d en términos de r1, r2 y A. Esta es la idea básica detrás de mi solución. Debido a la complejidad, lo dejo a los lectores.

PD: Agradecería mucho si alguien puede encontrar una solución puramente geométrica para esta pregunta.

Answer 3

es un problema que involucra dos conceptos

1- conocimiento básico de la formación de la ecuación de un círculo asumiendo un plano cartesiano.

Áreas de evaluación 2 delimitadas por una curva usando integrales definidas.

al principio, asuma C1 como el origen y tome el eje x a lo largo de la línea que une C1 y C2. Luego coord. de C2 son (d, 0). Ahora es fácil formar una ecuación de ambos círculos y encontrar puntos de intersección. Ahora, el área A dada se puede calcular en términos de r1, d, r2 usando el concepto de integral definida tomando los límites apropiados Esto dará una expresión de d en términos de r1, r2 y A.

¡Hecho!..:)

Answer 4

Deje que la distancia entre c1 y c2 sea d.
Dibuje perpendicular en el eje x desde el punto de intersección de dos círculos.
Deje que estos puntos estén a una distancia d + x del punto c1.

Por simple ratio
r1 ^ 2- (d + x) ^ 2 = r ^ 2-x ^ 2
1 Relación entre d y x llegamos aquí.

Ahora necesitamos algo de cálculo aquí.
Ahora el área A sería 2 * área de círculo más pequeño (entre el punto d + x y el punto d + r2)
-2 * área del círculo más grande (entre el punto d + xy r1)

Aquí tenemos una segunda relación entre d y x. Sustituye x y obtendremos d.
Si lo desea, puedo resolverlo y cargar sol solo envíenme un mensaje.

Answer 5

Cuando miramos lo que se pregunta, nuestra intuición sería que debe ser

(r1 – algo).

Para encontrar algo, veamos la figura modificada a continuación:

De la figura, podemos ver que, si medimos el ángulo θ desde c2 hasta el punto de intersección,

cos (θ / 2) = algo / r2 .

Por lo tanto, algo = r2 * cos ( θ / 2)

Por lo tanto, d = r1 – algo

d = r1 – r2 * cos (θ / 2)