Cómo probar [matemáticas] 7 ^ 5> 5 ^ 6 [/ matemáticas] sin evaluarlo realmente

Answer 1

intenta hacer que sean formas relativas sin usar ningún cálculo, solo trucos para exponentes + suma / resta.

Por ejemplo, 7 = 5 + 2.

Entonces [matemáticas] 7 ^ 2> 5 ^ 2 [/ matemáticas] porque [matemáticas] (5 + 2) ^ 2 = 5 ^ 2 + 2 * 5 * 2 + 2 ^ 2 [/ matemáticas] que es [matemáticas] 5 ^ 2 [/ math] más otras cosas no negativas.

Podría hacer un argumento similar para [matemáticas] 7 ^ 5> 5 ^ 6 [/ matemáticas]

7 = 5 + 2, de nuevo.

y luego tenemos

[matemáticas] (5 + 2) ^ 5> 5 ^ 5 * 5 [/ matemáticas] Usando la expansión binomial en el lado izquierdo, obtienes

[matemáticas] {5 \ elige 0} 5 ^ 5 * 2 ^ 0 + {5 \ elige 1} 5 ^ 4 * 2 ^ 1 + {5 \ elige 2} 5 ^ 3 * 2 ^ 2 + {5 \ elige 3 } 5 ^ 2 * 2 ^ 3 + {5 \ elegir 4} 5 ^ 1 * 2 ^ 4 + {5 \ elegir 5} 5 ^ 0 * 2 ^ 5 [/ matemáticas]

De la misma manera, vemos que el lado izquierdo comienza con [matemáticas] 5 ^ 5 [/ matemáticas] más algunos otros números no negativos. Esta no es una prueba completa, pero debería darle la idea de que necesitaría usarla.

Answer 2

¿Cómo se prueba [matemáticas] 7 ^ 5> 5 ^ 6 [/ matemáticas] sin realmente evaluarlo?

El cuadrado de 26 es 676, que puedes hacer en tu cabeza de muchas maneras. (Piense en 26 trimestres, que son $ 6.50, luego agregue 26 centavos. O imagine el triángulo pitagórico de 5,12,13 y duplique cada lado. O si juega Scrabble, y a menudo encuentra su bandeja llena de consonantes, no tiene dudas memorizó 676 definiciones de palabras de 2 letras conocidas solo en el idioma Rotokas.) De todos modos, el punto es que el cuadrado de 2.6 es menor que 7. Entonces,

[matemáticas] \ qquad 7 ^ 5 = (7 * 7 * \ sqrt {7}) ^ 2, [/ matemáticas]

y eso es mayor que

[matemáticas] \ qquad (7 * 7 * 2.6) ^ 2 = (49 * 2.6) ^ 2 = (50 * 2.6-2.6) ^ 2 = (130-2.6) ^ 2, [/ matemáticas]

y eso es mayor que

[matemáticas] \ qquad 125 ^ 2 = 5 ^ 6. [/ matemáticas]

Answer 3

Reescribe el primer término [matemática] 7 ^ 5 = (5 + 2) ^ 5 [/ matemática]. Pensando en la expansión binomial de este nuevo término, sus términos serían

[matemáticas] 5 ^ 5 + 5 (5 ^ 4 * 2) +10 (5 ^ 3 * 2 ^ 2) +10 (5 ^ 2 * 2 ^ 3) +5 (5 * 2 ^ 4) + 2 ^ 5 [/matemáticas]

Si factorizamos los 10 en 5 × 2 y reordenamos las multiplicaciones, podríamos reescribir esta expansión a

[matemáticas] 5 ^ 5 + 5 ^ 5 * 2 + 5 ^ 4 * 2 ^ 3 + 5 ^ 3 * 2 ^ 4 + 5 ^ 2 * 2 ^ 4 + 2 ^ 5 [/ matemáticas]

Combinar términos

[matemáticas] 5 ^ 5 * 3 + 5 ^ 4 * 8 + 5 ^ 3 * 16 + 5 ^ 2 * 16 + 32 [/ matemáticas]

Términos separados de los números de potencia no 5 y puede obtener

[matemáticas] 5 ^ 4 * 8 = 5 ^ 4 (5 + 3) = 5 ^ 5 + 5 ^ 4 * 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] 5 ^ 3 * 16 = 5 ^ 3 (5 + 5 + 5 + 1) = 5 ^ 4 * 3 + 5 ^ 3 [/ matemáticas]

Combinando términos similares, los primeros 2 términos son

[matemáticas] 5 ^ 5 * 4 + 5 ^ 4 * 6 +… [/ matemáticas]

Expandiendo el segundo término nuevamente

[matemáticas] 5 ^ 4 * 6 = 5 ^ 4 * (5 + 1) = 5 ^ 5 + 5 ^ 4 [/ matemáticas]

Trae este nuevo segundo término al primer término

[matemáticas] 5 ^ 5 * 4 + 5 ^ 5 + 5 ^ 4 = 5 ^ 5 * 5 + 5 ^ 4 = 5 ^ 6 + 5 ^ 4 [/ matemáticas]

Y así, los dos primeros términos son mayores, por lo que toda la expansión es mayor

[matemáticas] 5 ^ 6 + 5 ^ 4 +… [/ matemáticas] [matemáticas]> 5 ^ 6 [/ matemáticas]

Por lo tanto [matemáticas] 7 ^ 5> 5 ^ 6 [/ matemáticas]

Si bien esta expansión demuestra la desigualdad, probablemente sería más fácil evaluarlos.

Answer 4

Todas estas respuestas complicadas.

Tenga en cuenta que 7² = 2 * 5²-1, o (exactamente) 2% menos de 50. Elimine los pares de 7s en el LHS y los pares de 5s en el RHS, agregando un factor de 2 cada vez al LHS, de la siguiente manera:

LHS = 7 * 7 * 7 * 7 * 7, RHS = 5 * 5 * 5 * 5 * 5 * 5

LHS ‘= 2 * 7 * 7 * 7, RHS’ = 5 * 5 * 5 * 5

LHS ” = 2 * 2 * 7, RHS ” = 5 * 5

Tenga en cuenta que LHS ” es (nuevamente exactamente) un 12% mayor que RHS ”, que es una cantidad que no se puede contabilizar a través de las dos simplificaciones, cada una de las cuales agrega un error de poco más del 2% (50/49 = 100/98 = 1.0204081632 …), por lo que este método incluso da una estimación de la relación, es decir, aproximadamente 1.08: 1. La relación real es 1.07565: 1, por lo que el error en la estimación es solo 0.4%.

Aunque técnicamente esto no es muy riguroso y estoy usando implícitamente los primeros dos términos (1 + x) de la Expansión de la Serie para 1 / x, algebraicamente para porcentajes pequeños p, (100-p) (100 + p) = 10000-p ^ 2 ~ = 10000.

Las únicas otras “evaluaciones” son de 4 * 7 = 28, 28–25 = 3 y 3 * 4 = 12, que son todas de nivel primario.

Answer 5

Bueno, los primeros hechos que me vienen a la mente sobre las potencias de 7 y 5 son que sus cuadrados son 49 y 25, de modo que 7 ^ 2 es casi el doble de 5 ^ 2. ¿Cuánto menos de dos veces? Solo 1 de cada 25, que es 4 de cada 100 o 4%.

Entonces, si cuadramos ambos cuadrados, tenemos que 7 ^ 4 es casi dos veces dos veces (es decir, 4 veces) 5 ^ 4. Cuanto corto? Solo 1 – (1–1 / 25) ^ 2 o aproximadamente 8% (desde la aplicación del teorema binomial hasta la expansión (1- x ) ^ 2 – para x pequeña, podemos ignorar x ^ 2).

Entonces llegamos a 7 ^ 4 ~ = 4 (5 ^ 4) (1–8%). Multiplique por 7 para obtener 7 ^ 5 ~ = 7 (4) (5 ^ 4) (1–8%) = 28 (5 ^ 4) (1–8%), y esto es mayor que 25.5 (5 ^ 4) , que a su vez es mayor que 25 (5 ^ 4) = 5 ^ 6. ¡Suficientemente bueno para mi!

Lo único pegajoso podría ser convencerte de que 28 (1-8%)> 25.5. Dado que 8% es 2 en 25, es solo un poco más de 2 en 28, por lo que 28 (1–8%) tiene poco menos de 26 y seguramente es> 25.5. Estoy convencido, ¿y tú?

Answer 6

Mediante el uso de expansión binomial.

Tenga en cuenta que [matemáticas] 7 ^ 5 = (5 + 2) ^ 5 [/ matemáticas]. La expansión binomial de [matemáticas] (5 + 2) ^ 5 [/ matemáticas] tiene coeficientes 1, 5, 10, 10, 5, 1 (estos pueden calcularse utilizando el triángulo de Pascal, por ejemplo). Entonces, los primeros dos términos son [matemática] 1 \ cdot2 ^ 0 \ cdot5 ^ 5 [/ matemática] y [matemática] 5 \ cdot2 ^ 1 \ cdot5 ^ 4 [/ matemática], que se reducen a [matemática] 3 \ cdot5 ^ 5 [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que solo necesitamos otra [matemática] 2 \ cdot5 ^ 5 [/ matemática] para hacer [matemática] 5 ^ 6 [/ matemática], por lo que estamos a más de la mitad del camino.

El siguiente término es [matemáticas] 10 \ cdot2 ^ 2 \ cdot5 ^ 3 = 2 ^ 3 \ cdot5 ^ 4 = (5 + 3) 5 ^ 4 = 5 ^ 5 + 3 \ cdot5 ^ 4 [/ matemáticas], elevando el total a [matemáticas] 4 \ cdot5 ^ 5 + 3 \ cdot5 ^ 4 [/ matemáticas]. Acercarse…

El cuarto término es [matemáticas] 10 [/ matemáticas] [matemáticas] \ cdot2 ^ 3 \ cdot5 ^ 2 = 2 ^ 4 \ cdot5 ^ 3 = (3 \ cdot5 + 1) \ cdot5 ^ 3> 3 \ cdot5 ^ 4 [ /matemáticas]. Agregue eso a las sobras [matemáticas] 3 \ cdot5 ^ 4 [/ matemáticas] que teníamos antes, y eso es más que suficiente para un adicional [matemáticas] 5 ^ 5 [/ matemáticas], y así tenemos los cinco [matemáticas] 5 ^ 5 [/ math] necesitamos hacer [math] 5 ^ 6 [/ math]. Prueba completa!

Answer 7

Declaración: 7 ^ 5> 5 ^ 6

Evalúa cuándo 7 ^ x = 5 ^ (x + 1)

Y ver si 5> x. Si es así, entonces la afirmación es verdadera.

xln7 = (x + 1) ln5

1 + 1 / x = ln7 / ln5

1 / x = ln7 / ln5–1

x = 1 / [(ln7 / ln5) -1]

ln7 / ln5 -1 es lo mismo que log 7 con base 5 menos log 5 con base 5.

log 7/5 con base 5.

Y sabemos que 5 es mayor que log 5 con base 1.4.

Dado que 1.4 ^ 5 es mayor que 5. Por lo tanto, x <5. x en el que 7 ^ x y 5 ^ (x-1) se cruzan. Entonces la afirmación es cierta.

Answer 8

Esta respuesta no es una prueba porque no limito los errores de aproximación con cuidado, pero hacerlo es bastante simple. Esta respuesta demuestra cómo me convencí sin siquiera un lápiz de que [matemáticas] 7 ^ 5 [/ matemáticas] está muy cerca de [matemáticas] 5 ^ 5 \ cdot 5.375 = 5 ^ 5 \ cdot (1.075) [/ matemáticas] y ciertamente mayor que [matemáticas] 5 ^ 5 \ cdot 5.3> 5 ^ 6 [/ matemáticas]. De hecho, encontramos que el poder de siete es un poco más de 7.5% más que el poder de cinco.

_______________

[matemáticas] 7 ^ 5> 5 ^ 6 [/ matemáticas] si y solo si [matemáticas] \ izquierda (\ frac 75 \ derecha) ^ 5> 5 [/ matemáticas].

Pero [matemática] \ izquierda (\ frac 75 \ derecha) ^ 5 = (1.4) ^ 5 [/ matemática]. Si sabe que [matemáticas] \ sqrt 2 \ aprox 1.414 [/ matemáticas], entonces sabe que [matemáticas] 1.4 [/ matemáticas] es apenas un poco menor que el 99% de [matemáticas] \ sqrt 2 [/ matemáticas]. Entonces

[matemática] \ izquierda (\ frac 75 \ derecha) ^ 5 \ aprox 1.4 \ cdot \ sqrt 2 ^ 4 (1-0.01) ^ 4 [/ matemática]

[matemáticas] \ aproximadamente 5.6 (1-0.01) ^ 4 [/ matemáticas]

[matemática] \ aprox (5 + 0.6) (1-0.04) = 5 + 0.6-0.2-0.024 = 5.376> 5.3> 5 [/ matemática]

Answer 9

Hay una forma en la que necesita evaluar cierto logaritmo y dividirlo, pero no está evaluando los números de la desigualdad.

Si observas la ecuación

[matemáticas] 7 ^ n> 5 ^ {n + 1} [/ matemáticas]

[matemáticas] (\ frac {7} {5}) ^ n> 5 [/ matemáticas]

Y actúas con función

[matemáticas] \ log_5 x [/ matemáticas]

en ambos lados y te reorganizas un poco, obtienes

[matemáticas] n> \ frac {1} {\ log_5 7-1} [/ matemáticas] [matemáticas] [/ matemáticas] ~ [matemáticas] 4,7832 [/ matemáticas]

Entonces

[matemáticas] n \ geq 5 [/ matemáticas]

Si redondeas el logaritmo como función lineal, puedes tomar

[matemáticas] \ log_5 7 = 1 + \ frac {2} {20} [/ matemáticas]

porque

[matemáticas] 25-5 = 20 [/ matemáticas]

Pero luego obtienes

[matemáticas] n \ geq 10 [/ matemáticas]

que no es lo que quieres pero sigue siendo bueno sin el uso de calculadora … 🙂

Answer 10

Divide ambos lados entre [matemáticas] 7 \ por 5 ^ 4. [/ Matemáticas]

El lado izquierdo se convierte

[matemáticas] 7 ^ 4/5 ^ 4 = (49/25) ^ 2 = (2-1 / 25) ^ 2 \ geq 4-4 / 25 [/ matemáticas]

El lado derecho se convierte

[matemáticas] 5 ^ 2/7 = 4-3 / 7 [/ matemáticas]

Como [matemática] 4/25 <3/7 [/ matemática] (esto se puede ver, por ejemplo, comparando ambos lados con [matemática] 1/6 [/ matemática]), concluimos que el lado izquierdo es mayor que el lado derecho

Answer 11

Podemos resolver esta desigualdad por el mínimo conocimiento en álgebra. En primer lugar, notamos que [matemáticas] 6 = 2 \ por 3 [/ matemáticas]; planeamos usar solo la siguiente fórmula trinomial:

[matemáticas] (a + b) ^ 3 = a ^ 3 +3 a ^ 2 b +3 ab ^ 2 + b ^ 3 [/ matemáticas].

Por consiguiente, podemos considerar [math] 6 [/ math] -th poderes de [math] 7 [/ math] y [math] 5 [/ math] en su lugar.

Notamos que la desigualdad en consideración es equivalente a

[matemáticas] (\ frac {49} {25}) ^ 3 = (\ frac {7} {5}) ^ 6> 7 [/ matemáticas].

Ahora, uno puede usar la fórmula trinomial al notar que

[matemáticas] \ frac {49} {25} = 2- \ frac {1} {25} [/ matemáticas],

con [matemáticas] a = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] b = – \ frac {1} {25} [/ matemáticas]. Obtenemos

[matemática] (\ frac {49} {25}) ^ 3 = 2 ^ 3 -3 \ times 2 ^ 2 \ times \ frac {1} {25} +3 \ times 2 \ times \ frac {1} {25 ^ 2} – \ frac {1} {25 ^ 3} [/ matemáticas]

Combinando los dos primeros términos y los dos últimos términos en la última expresión, respectivamente, vemos que ambas combinaciones son positivas. Solo necesitamos mostrar que la primera combinación es mayor que [math] 7 [/ math] para terminar el argumento de que la desigualdad original es válida.

Este último paso se puede hacer observando que [matemáticas] 2 ^ 3 -7> 3 \ veces 2 ^ 2 \ veces \ frac {1} {25} [/ matemáticas] o [matemáticas] 1> \ frac {12} { 25} [/ matemáticas]. Con esto concluye la prueba de [matemáticas] 7 ^ 5> 5 ^ 6 [/ matemáticas].

Answer 12

5 ^ 6 = 125 ^ 2 <126 ^ 2 = 63 ^ 2 2 ^ 2 <7 ^ 2 9 ^ 2 2 ^ 2 = 7 ^ 2 3 ^ 4 2 ^ 2 = 7 ^ 2 27.12 <7 ^ 2.28.12 = 7 ^ 3.48 <7 ^ 3.49 = 7 ^ 5

Perspectiva : arriba es quizás la cadena más simple para demostrar la desigualdad. Para tales preguntas, a menudo necesita convertir la mano izquierda 7s en 5s (disminuyendo) o convertir la mano derecha 5s en 7s (aumentando). En el lado izquierdo, el poder es primordial, por lo que hay mucho menos espacio para jugar. En el lado derecho, 6 tiene dos factores 5 ^ 2 o 5 ^ 3. 5 ^ 2 es 25, y aumentarlo al siguiente múltiplo de 7 te da 28. 5 ^ 3 es 125, y aumentarlo al siguiente múltiplo de 7 es solo 126; y cuando me di cuenta de que 126 es 63 x 2, el resto se vuelve bastante obvio.

“.” Representa la multiplicación.

Answer 13

Tenemos al cuadrado:

[matemáticas] 7 ^ 5> 5 ^ 6 \ Longleftrightarrow 49 ^ 5> 25 ^ 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Longleftrightarrow \ frac {(50–1) ^ 5} {25 ^ 5}> 25 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ Longleftrightarrow \ frac {50 ^ 5} {25 ^ 5} \ left (1– \ frac {1} {50} \ right) ^ 5> 25 [/ math]

[matemática] \ Longleftrightarrow 2 ^ 5 \ left (1– \ frac {1} {50} \ right) ^ 5> 25 [/ math]

Pero a partir de las desigualdades de Bernoulli ([matemática] – \ frac {1} {50} \ geq -1 [/ matemática]): [matemática] \ left (1– \ frac {1} {50} \ right) ^ 5 \ geq 1- \ frac {5} {50} [/ matemáticas]

Por lo tanto, [matemática] 2 ^ 5 \ left (1– \ frac {1} {50} \ right) ^ 5 \ geq 2 ^ 5 \ left (\ frac {9} {10} \ right)> \ frac {288} {10}> 25 [/ matemáticas]

Answer 14

Podrías tomar el registro de ambos lados. es decir-

[matemáticas] log 7 ^ 5> log5 ^ 6 [/ matemáticas]

[matemáticas] \ implica 5 * log 7> 6 * log 5 [/ math]

[matemáticas] \ implica 4.23> 4.19 [/ matemáticas] aproximadamente.

Todavía tiene que evaluar, pero con números mucho más pequeños.

Answer 15

Prueba de que 7 ^ 5> 5 ^ 6

Suponga que 7 ^ 5> 5 ^ 6

=> 1/5 * 7 ^ 5> 5 ^ 5 (Dividiendo ambos lados de la desigualdad por 5)

=> 1/5 [(5 + 2) ^ 5]> 5 ^ 5 (Expresando 7 ^ 5 como el binomio (5 + 2) ^ 5)

=> 1/5 [5 ^ 5 + 10 * 5 ^ 4 + 40 * 5 ^ 3 + 80 * 5 ^ 2 + 80 * 5 + 32]> 5 ^ 5 (Expandir el binomio)

=> 1/5 [5 ^ 5 + 2 * 5 ^ 5 + 5 ^ 5 + 15 * 5 ^ 3 + 16 * 5 ^ 3 + 16 * 5 ^ 2 + 32]> 5 ^ 5 (40 = 5 ^ 2 + 15)

=> 1/5 [5 ^ 5 + 2 * 5 ^ 5 + 5 ^ 5 + 31 * 5 ^ 3 + 16 * 5 ^ 2 + 32]> 5 ^ 5

=> 1/5 [5 ^ 5 + 2 * 5 ^ 5 + 5 ^ 5 + 5 ^ 5 + 6 * 5 ^ 3 + 16 * 5 ^ 2 + 32]> 5 ^ 5 (31 = 5 ^ 2 + 6 )

=> 1/5 [5 * 5 ^ 5 + 6 * 5 ^ 3 + 16 * 5 ^ 2 + 32]> 5 ^ 5

=> 5 ^ 5 + 1/5 [6 * 5 ^ 3 + 16 * 5 ^ 2 + 32]> 5 ^ 5

=> 5 ^ 6 + 6 * 5 ^ 3 + 16 * 5 ^ 2 + 32> 5 ^ 6 (Ambos lados multiplicado por 5 para obtener la desigualdad original)

Por lo tanto, 7 ^ 5 es mayor que 5 ^ 6 (por 6 * 5 ^ 3 + 16 * 5 ^ 2 + 32).

Answer 16

Aplicar registro en ambos lados

5Log7> 6log5

5log7 = 5 (log3.5 * 2)

Logab = loga + logb

Donde a, b> 0

Entonces

log7 = log3.5 + log2

Tal como lo conocemos

log2 = 0.3010

log3.5 = 0.55 aproximadamente

5log7 = 5 (0.3010 + 0.55)

5 (.8510) = 4.2550

Y sabemos que log5 = 0.6990

6 * (log5) = 4 .1940

Por esto se sabe que 7 ^ 5> 5 ^ 6

Answer 17

Fácil. Si le damos a ambos lados de la desigualdad la misma base de 5, podemos eliminar las bases y solo evaluar los exponentes. Para dar a ambos lados de las bases de desigualdad de 5, tenemos que convertir la base de 7 a una base de 5 ^ x para alguna x desconocida:

(7) ^ 5 = (5 ^ x) ^ 5

Si ignoramos los exponentes idénticos para resolver por x:

7 = 5 ^ x ==> ln (7) = ln (5 ^ x) = x * ln (5) ==> x = ln (7) / ln (5)

Sustituyendo el valor x en la desigualdad original y simplificando el lado izquierdo:

(7) ^ 5 = (5 ^ (ln (7) / ln (5)) ^ 5 = 5 ^ (5 * (ln (7) / ln (5)))> 5 ^ 6

Eliminando las bases idénticas de 5, solo necesitamos evaluar los nuevos exponentes:

(5 * (ln (7) / ln (5)))> 6

Dividiendo por 5, solo necesitamos evaluar si:

ln (7) / ln (5) = 1.209…> 1.2

Por lo tanto, el lado izquierdo es mayor.

Answer 18

Yo dividiría ambos lados entre 5 ^ 5. Nos vemos reducidos a comparar (1.4) ^ 5 con cinco.

Ahora 1.4 es solo un toque menor que sqrt (2), entonces 1.4 ^ 4 está cerca de 4. Entonces seguramente otro factor de 1.4 lo pondrá mayor que 5, ¿verdad?

Veo muchas respuestas elaboradas aquí. Respuestas que requieren mucho más trabajo que calcular 7 ^ 5 y 5 ^ 6.