¿Cómo se prueba eso: Si [matemáticas] A \ cdot e ^ {iax} + B \ cdot e ^ {ibx} = C \ cdot e ^ {icx} [/ matemáticas] entonces [matemáticas] A + B = C [ / matemáticas] y [matemáticas] a = b = c [/ matemáticas]?

Answer 1

Probablemente quiera excluir la posibilidad trivial donde A o B es cero. 🙂

De manera más general, puede probar que las funciones [matemáticas] e ^ {iax} [/ matemáticas] para cada valor de [matemáticas] a [/ matemáticas] son ​​linealmente independientes.

Suponga que [matemáticas] f (x) = \ sum_ {k = 1} ^ n A_k e ^ {ia_k x} = 0 [/ matemáticas]

Para [math] n \ ge1 [/ math] y [math] a_0, a_1, \ ldots a_n [/ math] son ​​números diferentes.

Luego demostramos que [math] A_k = 0 [/ math] para todos [math] k. [/ Math]

La respuesta a su pregunta será una mezcla de los casos especiales donde [matemática] n = 2 [/ matemática] y [matemática] n = 3 [/ matemática] (dependiendo de si su [matemática] a, b [ / math] y [math] c [/ math] son ​​todos diferentes, o dos de ellos son iguales).

Ahora, para probar la afirmación, tomamos el “producto interno” entre f (x) y cada una de las funciones: [matemáticas] g_m (x) = e ^ {i a_m x} [/ matemáticas]. Funciona así:

[matemáticas] \ langle f (x), g_m (x) \ rangle = \ int_0 ^ {2 \ pi} f (x) \ cdot \ overline {g_m (x)} dx = \ int_0 ^ {2 \ pi} \ left (\ sum_ {k = 1} ^ n A_k e ^ {ia_k x} \ right) \ cdot e ^ {- ia_m x} dx [/ math]

Multiplicando en cada término de la suma, y ​​luego integrando cada término por separado, debe descubrir que esto realmente produce [matemáticas] 2 \ cdot \ pi \ cdot A_m [/ matemáticas].

Pero como [math] f (x) = 0 [/ math] también es igual a cero.

Answer 2

Escoger [matemática] x = 0 [/ matemática] da [matemática] A + B = C [/ matemática].

Para mostrar que [matemática] a = b = c [/ matemática] también necesitamos suponer que [matemática] A, B, C [/ matemática] no son todos cero. Ahora, dado que [matemáticas] Ae ^ {iax} + Be ^ {ibx} -Ce ^ {icx} = 0 [/ matemáticas] tenemos que [matemáticas] {e ^ {iax}, e ^ {ibx}, e ^ {icx}} [/ math] son ​​linealmente dependientes, por lo que al menos dos de [math] {a, b, c} [/ math] deben ser iguales. Suponga que [matemática] a = b [/ matemática] luego [matemática] (A + B) e ^ {iax} -Ce ^ {icx} = 0 [/ matemática] y [matemática] {e ^ {ibx}, e ^ {icx}} [/ math] son ​​linealmente dependientes y [math] b = c [/ math]. Un resultado similar se cumple si [matemática] b = c [/ matemática] o [matemática] a = c [/ matemática].

Answer 3

Tomemos a, byc igual a 0. Y sustitúyalo en la ecuación dada y se sabe que cualquier cosa que eleve a la potencia 0 es 1.

Por lo tanto, A. 1 + B.1 = C.1

A + B = C. y

=> a = b = c

Answer 4

parece ser una solución de una ecuación diferencial

entonces poniendo x = 0 obtenemos A + B = C

y este es el primer punto para demostrar

el segundo se puede lograr sustituyendo el resultado que obtuvimos en la rhs de la ecuación anterior como esta

A exp (iax) + B exp (ibx) = (A + B) exp (icx)

simplificando llegamos a eso:

A (exp (iax) – exp (icx)) + B (exp (ibx) – exp (icx)) = 0

entonces concluimos que incluso A = B = 0 o exp (iax) = exp (ibx) = exp (icx) que prueban que a = b = c #

Answer 5

Expande los términos exponenciales en términos de pecado y cos. Escríbelo como dos ecuaciones separadas. Cuadra ambas ecuaciones y suma. Obtienes el primer resultado.

Creo que puedes tomarlo desde aquí.

Answer 6

La afirmación es falsa. Por ejemplo, toma

[matemática] A = 0, B = C = 1, a = 1, b = c = 0 [/ matemática].

Answer 7

Ae ^ icx + Be ^ icx ya que a = b = c

e ^ icx. (A + B). Tomando e ^ icx común

Ce ^ icx. Como A + B = C

Espero que esto pueda ayudar

Answer 8

No es una prueba sólida, pero si completa a para c y b

Y luego divide por e ^ iax, entonces obtienes A + B es C. Si llenas c para a y b Y viceversa b para c y a tienes evidencia

Answer 9

Tome x = 0 y luego A + B = C

entonces diferenciar aún en x = 0: Aa + bB = cC que implica a = b = c

Answer 10

Si a = b = c = 0,

A (1) + B (1) = C (1)

A + B = C