¿Qué es [math] \ log _ {- 2} 4 [/ math]? ¿Es 2 porque [matemáticas] (- 2) ^ 2 = 4 [/ matemáticas], o es [matemáticas] \ frac {\ ln 4} {\ ln 2 + i \ pi} [/ matemáticas], debido al logaritmo propiedades?

Answer 1

Este es un problema fascinante! Obviamente, una de las respuestas debe ser 2 (porque es aritmética). Pero después de explorar el lado complejo de las cosas, parece que 2 es la última respuesta que obtendría.

En primer lugar, para ser más general: [matemáticas] \ log _ {- 2} 4 = \ frac {2 \ ln2} {\ ln2 + (\ pi + n \ tau) i} [/ matemáticas] donde τ = 2π y n Es cualquier número entero. Aquí está la gráfica de muchos de estos puntos en el plano complejo:

Los valores positivos de n producen puntos con una parte imaginaria negativa, y viceversa. Cualquier punto también se acercará a 0 cuando n se acerque a ± infinito. Después de parametrizar el π + n τ parte para tener una mejor idea del camino que están tomando estos puntos, ¡obtuve un círculo, de todas las cosas!

Por último, si queremos que [math] \ log _ {- 2} 4 [/ math] (usando la fracción compleja en la parte superior) sea igual a 2, entonces π + n τ tiene que ser igual a 0. Pero eso es una contradicción porque n tendría igual a -1/2 y la fracción compleja permitió solo valores enteros de n .

En conclusión, la aritmética dice que [math] \ log _ {- 2} 4 [/ math] es obviamente 2, pero el análisis complejo no está de acuerdo.

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Answer 2

para cualquier [matemática] a, \ log_a (x) = \ frac {\ ln (x)} {\ ln (a)} [/ matemática]

entonces, en su caso [matemáticas], \ log _ {- 2} (x) = \ frac {\ ln (x)} {\ ln (-2)} [/ matemáticas]

Uy, ¿escribí algo que ni siquiera tiene sentido?

o tal vez no debería intentar definir el registro en una base negativa, para su propia cordura y la de los demás, ya sea que esté trabajando en el campo de los números reales o que esté trabajando en números complejos, o considere que ln es una función real cuyo dominio es real positivo, o un objeto multivaliente con más de 1 imagen, en cuyo caso hay más de 1 respuesta a su pregunta.

Si tuviera que elegir, iría con [math] \ frac {\ ln (4)} {\ ln (2) + i \ pi + 2ik \ pi}, k \ in \ mathbb {Z} [/ math]

Answer 3

Los logaritmos a una base negativa no están definidos. Esto se debe a que los poderes de una base negativa no están definidos, excepto los números enteros. Puede ser una molestia al insistir en que podría definirlos para números complejos. Mi opinión sobre eso es que debes seguir adelante y hacerlo. Te deseo lo mejor