Deje que los dos tipos con objetos [math] n [/ math] sean [math] A [/ math] y [math] B. [/ Math]
Si hay objetos [matemática] k [/ matemática] que son una combinación de [matemática] Como [/ matemática] y [matemática] Bs, [/ matemática] se pueden elegir en [matemática] k + 1 [/ matemática] formas: [matemática] [0A, kB], [1A, (k-1) B],…, [kA, 0B]. [/ matemática]
Los objetos restantes [math] nk [/ math] deben elegirse entre los [math] n [/ math] a diferencia de los objetos, que se pueden hacer en [math] \ dbinom {n} {nk} = \ frac {n! } {k! (nk)!} [/ math] maneras.
Por lo tanto, el número de formas de seleccionar objetos [matemáticos] n [/ matemáticos] entre [objetos matemáticos] 3n [/ matemáticos], de los cuales [matemáticos] n [/ matemáticos] son del tipo [matemático] A, n [ / math] son de tipo [math] B [/ math] y el resto son diferentes, viene dada por la siguiente expresión:
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[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ {n} (k + 1) \ frac {n!} {k! (nk)!} [/ matemáticas]
[matemáticas] = \ sum_ {k = 0} ^ {n} k \ frac {n!} {k! (nk)!} + \ sum_ {k = 0} ^ {n} \ frac {n!} {k ! (nk)!} [/ math]
[matemáticas] = \ sum_ {k = 0} ^ {n} k \ frac {n!} {k! (nk)!} + 2 ^ n [/ matemáticas]
[matemáticas] \ sum_ {k = 0} ^ {n} k \ frac {n!} {k! (nk)!} = \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ frac {n (n-1) !} {(k-1)! (nk)!} [/ math]
Deje [math] x = k-1 [/ math]
Cuando [matemáticas] k = 1, x = 0; [/ matemáticas] y cuando [matemáticas] k = n, x = n-1. [/ Matemáticas]
[matemáticas] \ Longrightarrow \ sum_ {k = 1} ^ {n} \ frac {n (n-1)!} {(k-1)! (nk)!} = \ sum_ {x = 0} ^ {n -1} \ frac {n (n-1)!} {(X)! (Nx-1)!} [/ Math]
[matemáticas] = n \ sum_ {x = 0} ^ {n-1} \ frac {(n-1)!} {(x)! (nx-1)!} [/ matemáticas]
[matemáticas] = n \ veces 2 ^ {n-1} [/ matemáticas]
Por lo tanto, el número requerido de formas [matemáticas] = n \ veces 2 ^ {n-1} + 2 ^ n [/ matemáticas]
[matemáticas] = n \ veces 2 ^ {n-1} + 2 \ veces 2 ^ {n-1} [/ matemáticas]
[math] = \ boxed {(n + 2) 2 ^ {n-1}} [/ math]