Análisis de elementos finitos: ¿cuál es la diferencia entre los elementos de primer y segundo orden?

Answer 1

Una manera simple y cruda de describir la diferencia es pensar en un ejemplo de interpolación entre dos puntos en el plano [matemáticas] xy [/ matemáticas], digamos [matemáticas] \ izquierda (x_1, y_1 \ derecha) [/ matemáticas] y [matemática] \ left (x_2, y_2 \ right) [/ math]. Estos dos puntos se pueden unir mediante una línea recta (una interpolación lineal) o una línea curva (interpolación de orden superior).

Si uno tiene la intención de encontrar el valor (es decir, la [matemática] y_3 [/ matemática]) correspondiente en un punto intermedio [matemática] x_3 [/ matemática], tendrá que hacer una interpolación. Dependiendo del orden de interpolación, se determina el valor de [math] y_3 [/ math].

En FEM, es incorrecto suponer directamente que los elementos de segundo orden (o de orden superior) funcionarían mejor o son más precisos. Por ejemplo: en problemas relacionados con el contacto, los elementos de primer orden funcionan mucho mejor que los elementos de segundo orden. Los elementos de orden mucho más alto nunca se usan debido a oscilaciones significativas. Por el contrario, en los problemas relacionados con la flexión / incompresibilidad, los elementos de segundo orden funcionan mucho mejor que los elementos de primer orden.

Answer 2

Los elementos de primer orden generalmente se componen de la combinación de líneas (significativamente, la construcción de FOE se rige por ecuaciones deferentes lineales o ecuaciones deferentes de primer orden), es decir, triángulo, elemento tat. Tienen la mejor precisión al tratar con formas geométricamente sesgadas, como un cuadrado perfecto, un rectángulo, etc. Tienen nodos menores en el territorio deseado.

Los elementos de segundo orden están compuestos por curvas y líneas de curvatura (significativamente, la construcción de SOE se rige por ecuaciones deferentes de segundo orden) tienen la tendencia a mostrar la mayor precisión en los elementos geométricos muy intrincados o complicados al realizar FEA

Answer 3

Wasfi Zakaria ha proporcionado una excelente descripción del enfoque que diferencia los elementos de primer orden de los de segundo orden.

Hay una complejidad sutil introducida en los elementos a medida que se vuelven de orden superior.

Veamos un triángulo en el espacio real.

La función de forma canónica en coordenadas reales para un elemento triangular lineal es:

P = a + bx + cy (3 parámetros y 3 nodos)

y

dP / dx = b o la deformación en la dirección x puede variar linealmente en y.

dP / dy = c o la deformación en la dirección y puede variar linealmente en x.

La función de forma canónica en coordenadas reales para un triángulo bilineal (segundo orden) es:

P = a + bx + cy + dx ^ 2 + ey ^ 2 + fxy (6 parámetros y 6 nodos)

y

dP / dx = b + dx + fv

dP / dy = c + ey + fx

Y nuevamente tenemos comportamientos de tensión simétrica.

Ahora veamos el elemento quad lineal:

P = a + bx + cy + dxy (cuatro parámetros, cuatro nodos)

y

dP / dx = b + dy

dP / dy = c + dx

Tenga en cuenta que existe una asimetría en los campos de deformación d / dx y d / dy.

Ahora veamos el elemento de casualidad biquadratica (ocho nodos):

P = a + bx + cy + dx ^ 2 + ey ^ 2 + fxy + gxy ^ 2 + hx ^ 2y (ocho parámetros, ocho nodos)

y los campos de deformación pueden ser determinados por

dP / dx = b + 2dx + fy + gy ^ 2 + 2hxy

dP / dy = c + 2ey + fx + 2gxy + hx ^ 2

y nuevamente los campos de deformación no son simétricos.

Por lo tanto, los elementos triangulares (y los elementos tetraédricos i 3D) tienen campos de deformación simétrica (y, por lo tanto, tensión), mientras que los elementos de serendipia cuádruple no.

¿Por qué eso importa?

Veamos un campo de desplazamiento constante puro (estiramiento constante). Todo el elemento solo exhibirá el término de deformación constante y todos se comportarán igualmente bien.

Veamos la deformación lineal a través de la sección (como se dice en flexión pura). el triángulo lineal es una deformación constante y, por lo tanto, coincide con la deformación real como un conjunto de funciones escalonadas y converge muy lentamente. Para ciertos problemas (plasticidad), estos elementos realmente se bloquean y se establecen correctamente, el comportamiento de convergencia es extraño. sin embargo, los elementos bilineales pueden representar explícitamente un campo de deformación que varía linealmente en x o y y los elementos convergen inmediatamente para un elemento.

Ahora echemos un vistazo a los campos de desplazamiento de orden superior, digamos un campo de desplazamiento cúbico que produce campos de deformación cuadráticos (flexión bajo carga final). El triángulo bilineal se ajustará al campo de desplazamiento con un conjunto de campos cuadráticos y la convergencia es relativamente rápida. Del mismo modo, la variación del campo de deformación se puede representar simétricamente a través del elemento y el campo de deformación se comporta bien. Veamos los elementos cuádruples. También asignarán el campo de desplazamiento como un conjunto de campos de desplazamiento cuadráticos y convergerán bastante rápido. Sin embargo, ahora hay componentes de deformación de segundo orden y estos pueden excitar los términos de segundo orden en la derivada de las funciones de forma. Y a medida que el campo de desplazamiento se vuelve más severo y complejo, estos campos de tensión de orden superior se excitan cada vez más. El resultado puede ser deformaciones oscilantes (y, por lo tanto, tensiones), ver más abajo.

tomado de:

Análisis estructural con el método de elementos finitos. Estática lineal

Esto se discute más en:

Alisamiento de deformación de mínimos cuadrados para el elemento de tensión del plano de serendipia de ocho nodos

y

Procedimientos de elementos finitos

y

Análisis estructural con el método de elementos finitos. Estática lineal

El suavizado de los mínimos cuadrados sobre el elemento (la línea recta en este caso) es una solución muy efectiva para este desafío.

Impacto:

1) los quads / rectángulos convergen más rápido que los triángulos / tetraedros

2) los elementos bilineales convergen mucho más rápido que los elementos lineales

3) los quads / rectángulos bilineales (o langrangianos o …) son susceptibles a las oscilaciones de estrés parasitario

4) el ajuste al cuadrado mínimo de los campos de esfuerzo / tensión sobre el elemento es muy efectivo para reducir esta oscilación

Answer 4

El orden de un elemento en FEM no es más que el orden del polinomio utilizado para desarrollar el borde / superficie. Por ejemplo, elemento triangular de primer orden significa que los bordes del elemento estarán en forma de línea recta, de manera similar, elemento triangular de segundo orden significa que los bordes tendrán una naturaleza cuadrática.

Answer 5

Espero que entiendas las matemáticas detrás de estos elementos. Puede intentar mirar la formulación de estos elementos en cualquier libro estándar sobre FEA.

Pero, si comió buscando la respuesta por qué uno usa el primer orden en lugar del segundo orden, entonces estas son las razones.

Primer orden:

Menos número de nodos para resolver por el mismo número de elementos.

La gente no está realmente preocupada por la continuidad de la pendiente, sino que busca el desplazamiento máximo

Fácil convergencia.

Nota: en general, las personas deben tener más cantidad de elementos de primer orden para obtener una mayor precisión en un volumen dado que la cantidad de elementos de segundo orden.

Segundo orden:

Alta precisión para el número de elementos.

Continuidad de deformación, o continuidad de pendiente en los nodos.

Answer 6

es la función polinómica que describe el elemento, de hecho, para los elementos de primer orden tienen una función como: P (x) = a * x + b

y para los elementos de segundo orden, la función es algo así como: P (x) = a * x ^ 2 + b * x + c

en la imagen de arriba, la primera línea de elementos son de primer orden, mientras que los elementos de segundo orden están en la segunda línea.

PD: puedes ver la forma parabólica de los elementos de segundo orden, eso es lo que los elementos de primer orden no pueden darte.

Answer 7

Don Rolph ha descrito los elementos bastante bien, teóricamente, los elementos de primer y segundo orden pueden alcanzar la misma precisión, pero la tasa de convergencia y la estabilidad son diferentes.

Desde mi experiencia, en la mayoría de las situaciones, uso elementos de segundo orden, porque es fácil cambiar los elementos de primer orden a los de segundo orden, y sin duda dará un mejor resultado. solo cuando la convergencia es difícil de obtener para elementos de segundo orden, como el análisis de deformación grande, se utilizan los primeros elementos.