Porque son operaciones análogas.
El símbolo ^ -1 es más fundamental en la teoría de grupos, donde representa “el inverso del elemento con respecto a la operación del grupo”. Concretamente, para cualquier elemento g, g ^ -1 es el elemento de modo que g * g ^ -1 = 1. Esto funciona en el grupo R0, *, es decir, los números reales distintos de cero cuando se considera la multiplicación, así como con F,., Es decir, el espacio de funciones inyectivas en algún dominio cuando se considera la composición de la función (por lo tanto, f * g es la función para que (f * g) (x) = f (g (x); la inversa f ^ -1 es entonces la función para que (f * f ^ -1) (x) = x, es decir, f * f ^ – 1 es la función de identidad. Tenga en cuenta que esta misma idea de elementos inversos también se extiende a otros lugares donde usamos ^ -1, como las matrices (invertibles).
Si bien creo que esto es generalmente una notación perspicaz, hay algunos casos en los que es confuso:
- sin ^ -1 se refiere al inverso “composicional” de la función seno, mientras que sin ^ 2 se refiere al cuadrado “multiplicacional” de la función seno (en lugar del cuadrado “compositivo”, es decir, sin (sin (x))), lo cual es confuso
- f ^ -1 para alguna función inyectiva f se refiere a su inverso como sabes, de modo que para cualquier x, f ^ -1 (x) es el elemento único para que f (f ^ -1 (x)) = x. Sin embargo, si f no es invertible, f ^ -1 (x) no es único, pero usamos el símbolo f ^ -1 (x) para referirnos a todos los elementos en el dominio de f que se asignan a x, es decir, la preimagen de x debajo de f. Si bien esto conceptualmente justifica la reutilización de la notación ^ -1, significa que f ^ -1 (x) es un elemento del dominio de f si se sabe que f es invertable, o un subconjunto de x si f no es o podría no sea inyectiva, de modo que en algunos casos el significado exacto de f ^ -1 (x) podría no estar claro.