¿Cómo podemos juzgar la continuidad de la función de dos variables?

Answer 1

Se puede imaginar una función de dos variables z = f (x, y) como una superficie en un plano tridimensional. Por lo tanto, para que la superficie sea lisa y cambie continuamente sin ningún salto anormal o discontinuidad,

verifique tomar diferentes caminos hacia el mismo punto si produce diferentes valores para el límite, entonces el límite no existe.

Aquí hay un ejemplo simple de lo que quiero decir:
f (x, y) = (x2 − y2)
Está claro que f (0,0) existe y es igual a 0. Pero esto no es suficiente para la continuidad en (0,0). Considere tomar el límite de f en (0,0) a lo largo de la línea x = 0. Entonces lim f (x, y) —-> (- y ^ 2) a medida que nos acercamos (0,0) a lo largo de x = 0. Pero si nos acercamos a lo largo de y = 0, entonces lim f (x, y) —-> (x ^ 2) y claramente estos límites para f no coinciden a lo largo de estos 2 caminos en el plano. ¡Entonces el límite no existe para su f cuando nos acercamos a (0,0) a pesar de que la función se define en (0,0) y es igual a 0!