Cómo juzgar la diferenciabilidad de una función de dos variables

Answer 1

Debe aplicar las definiciones de la noción de diferenciabilidad que considere. Así que típicamente [matemática] f (x) = f (a) + l (xa) + o (xa) [/ matemática] con [matemática] l (x) [/ matemática] una función lineal de x y [matemática] o (xa ) [/ math] una función que desaparece más rápido que [math] xa [/ math] en a.

Entonces, posibles situaciones en las que te puedes encontrar:

• La función usa funciones elementales conocidas. No hay división por término que tiende a 0, todos los registros están bien definidos, etc. Luego, simplemente aplique el teorema estándar y su función es diferenciable.
• En algún momento la función tiene alguna singularidad. Entonces bueno tienes que pensar. Esto generalmente ocurre en el ejercicio. Por lo general, la mayoría de los puntos son fáciles, pero solo unos pocos puntos son difíciles de manejar.
• Estás en una situación traicionera: la función es de cosas como “en ninguna parte diferenciable” o “diferenciable excepto en un conjunto de medida 0” (ver Escalera del Diablo). En ese caso deberías pensar un poco más.

Entonces, en general, debe pensar o darnos más detalles. La buena noticia es que la diferenciabilidad rara vez es un problema importante.

Answer 2

Daré la definición de diferenciabilidad en 2D.
Dado un punto [math] (x, y) \ in \ mathbb {R} [/ math], la función [math] f: \ mathbb {R} ^ {2} \ to \ mathbb {R} [/ math] es diferenciable si existe [math] d_ {1}, d_ {2} [/ math] tal que

[matemáticas] \ lim_ {h_ {1} ^ {2} + h_ {2} ^ {2} \ a 0} \ frac {f ((x + h_ {1}, y + h_ {2})) – f (x, y) – (d_ {1} h_ {1} + d_ {2} h_ {2})} {h_ {1} ^ {2} + h_ {2} ^ {2}} = 0. [/ matemáticas]

(No puedo ver nada malo con mi LaTeX, por lo tanto, coloque el elemento entre [math] y [\ math] en http://www.codecogs.com/latex/eqneditor.php si no puede leer LaTeX. Realmente lo siento por eso.

Más intuitivamente
f (x + h_ {1}, y + h_ {2}) – f (x, y) -d_ {1} h_ {1} -d_ {2} h_ {2} = o (\ min (h_ {1 }, h_ {2}))
Tenga en cuenta que, si es igual a [math] o (h) [/ math] significa que si dividimos la expresión entre [math] h [/ math] seguirá tendiendo a cero ya que [math] h [/ math] tiende a El límite relevante (en este caso es 0).

Esta es la definición. Prácticamente, solo necesita encontrar las derivadas direccionales (esto no es suficiente) y luego verificar si sus derivadas son consistentes con todas las demás direcciones (como en la ecuación dada anteriormente).

También es importante recordar que probar que las derivadas parciales (o las derivadas direccionales) existen no es suficiente.
Vea $ f $ no diferenciable en $ (0,0) $ pero todas las derivadas direccionales existen para el contraejemplo.

Answer 3

Una función de dos variables es diferenciable en un punto si existe un plano tangente en ese punto. Si las derivadas parciales existen y son continuas, entonces la función es diferenciable. Pero tenga cuidado, hay algunas funciones extrañas que son diferenciables (el plano tangente existe) pero para las cuales las derivadas parciales no existen o no son continuas. También hay algunas funciones que tienen derivadas parciales que existen, pero las parciales no son continuas y las funciones no tienen un plano tangente y, por lo tanto, no son diferenciables.

Answer 4

De manera similar, encuentra la diferenciabilidad de la función con una variable.
Por ejemplo, si la función es f (x, y), mientras se verifica la diferenciabilidad en (x1, y1).
1. Suponga que y es constante y verifique la diferenciabilidad wrt x en x1
2. Suponga que x es constante y verifique la diferenciabilidad wrt y en y1

Si ambos existen y son continuos en (x1, y1), entonces es diferenciable en (x1, y1), de lo contrario no es diferenciable en (x1, y1)

Editar: Gracias Aaron D Kahn por la sugerencia