Cuando se muestra que [math] -div [/ math] está junto a [math] \ nabla [/ math], ¿por qué consideramos [math] \ langle \ nabla f, X \ rangle = – \ langle f, div (X ) \ rangle [/ math] ([math] X [/ math] es un campo vectorial)?

Answer 1

Bueno, la razón principal es que la declaración

[matemáticas] \ langle \ nabla f, g \ rangle = – \ langle f, \ operatorname {div} g \ rangle [/ math]

no tiene sentido si g es una función de valor real: [math] \ nabla f [/ math] es un campo vectorial, por lo que no puede puntearlo con una función de valor real, y en la misma línea [math] \ operatorname { div} g [/ math] no tiene sentido cuando g es una función de valor real.

Más formalmente, el operador de gradiente es un operador de la forma

[matemáticas] \ nabla: [/ matemáticas] {funciones suaves} [matemáticas] \ a [/ matemáticas] {campos vectoriales suaves}

entonces su adjunto es necesariamente un operador de la forma

[matemáticas] \ nabla ^ *: [/ matemáticas] {campos vectoriales suaves} [matemáticas] \ a [/ matemáticas] {funciones suaves}

es decir, tiene que actuar sobre campos vectoriales y campos escalares de salida.