¿Para qué se usan los logaritmos? ¿Son los decibelios un buen ejemplo de la utilidad de un logaritmo? ¿Son los logaritmos cálculo?

Answer 1

Los logaritmos se pueden usar para hablar sobre cosas que pueden ser pequeñas y gigantescas, como en

• magnitudes de terremotos,
• niveles de ruido en decibelios, y
• acidez (pH)

Un gran terremoto puede ser millones de veces más grande que uno pequeño. Si intentara hacer un gráfico de barras donde las barras tengan tamaños 10, 100 y 10 000 000, se vería estúpido. Las barras de tamaño 10 y 100 serían demasiado pequeñas para verlas, y no podrás decir que una de ellas es diez veces más grande que la otra. Si en cambio tomas el logaritmo de cada número, obtienes 1, 2 y 7. Eso hace un gráfico de barras que puedes entender.

Tenga eso en cuenta cuando escuche sobre las magnitudes de los terremotos. Un terremoto 7.0 es diez veces más grande que un terremoto 6.0, que es diez veces más grande que un terremoto 5.0. Tomar logaritmos nos permite poner un terremoto causado por un cartucho de dinamita (1.2) en la misma escala que el terremoto de 2011 en Japón (9.0).

Los logaritmos también se pueden usar para medir cuánto tiempo llevará algo crecer exponencialmente o decaer exponencialmente, como

• dinero que crece con una tasa de interés fija,
• bacterias que crecen en una placa de Petri,
• desintegración radiactiva, por ejemplo en la datación por radiocarbono, y
• El sonido hecho por una campana.

Si tiene bacterias que se dividen cada 30 minutos y actualmente ocupan el 0.1% de la placa de Petri, puede usar logaritmos para estimar cuánto tiempo les tomará llenar toda la placa. Lo mismo vale para $ 5000 en una cuenta con una tasa de interés del 2%. Si deja el interés en la cuenta, los logaritmos le dirán cuándo tendrá $ 6000.

Los logaritmos también se pueden usar en los cálculos por

• convirtiendo la multiplicación en suma.

Si te diera la opción de multiplicar veinte números a mano o sumar veinte números a mano, elegirías la segunda opción. Si necesita multiplicar veinte números, puede tomar el logaritmo de base 10 de cada número, sumar los resultados y luego elevar 10 a esa potencia. Encontrar el logaritmo puede parecer difícil, pero, en el pasado, la gente podía buscarlo en una tabla de logaritmo o usar una regla de cálculo. Encontrar la respuesta usando logaritmos fue mucho más rápido.

El problema de multiplicar muchos números fue la razón original por la que se desarrollaron los logaritmos. Este método ahora está obsoleto gracias a las computadoras, que son bastante rápidas en la multiplicación. Mientras tanto, sin embargo, hemos descubierto toneladas de usos de logaritmos, la mayoría de los cuales ni siquiera he enumerado aquí.

---

Gracias a Anders Kaseorg por decirme que las computadoras son tan rápidas en la multiplicación como en la suma.

Answer 2

Como nadie parece haberlo tocado todavía, me centraré en su segunda pregunta. Resulta que los decibelios son un excelente ejemplo de la utilidad de los logaritmos.

Comencemos tratando de entender cómo las personas perciben el volumen de los sonidos. ¿Cómo diría que los siguientes pares de eventos difieren en términos de volumen?

1. Una persona hablando versus dos personas hablando
2. Silencio vs. una persona hablando
3. 1000 personas hablando vs. 1001 personas hablando

Creo que estaría de acuerdo en que la mayor diferencia en volumen es entre el silencio y una persona que habla. La diferencia entre una persona y dos personas hablando es notable, pero no tan grande. Y es básicamente imposible distinguir entre 1000 y 1001 personas hablando.

Llegamos a la conclusión de que lo que generalmente percibimos como “volumen” no escala linealmente con la intensidad del sonido en bruto (léase: número de personas que hablan). ¿Cómo se escala? Bueno, tiene que haber alguna función [matemática] f [/ matemática] para que [matemática] f (x) [/ matemática] sea el volumen percibido de un sonido cuya intensidad física es igual a [matemática] x [/ matemática] . Según nuestro experimento mental, sabemos que [matemáticas] f (2) – f (1) [/ matemáticas] debería ser algo medio, [matemáticas] f (1) – f (\ epsilon) [/ matemáticas] debería ser grande para [math] \ epsilon [/ math] cerca de [math] 0 [/ math] (realmente no deberíamos conectar [math] x = 0 [/ math] porque no puedes tener un silencio completo ), y [ math] f (1001) – f (1000) [/ math] debería ser realmente pequeño. Hmm, ¿qué función se ve así?

(Tomado de Logarithm. No se muestra en la imagen: [matemática] x = 1000 [/ matemática].)

Es nuestro viejo amigo, registro! Como puede ver, log se vuelve muy empinado para valores pequeños de [math] x [/ math], y se aplana para valores grandes de [math] x [/ math]. Eso es exactamente lo que queríamos.

Esto explica por qué los sonidos a menudo se describen usando decibelios (que es simplemente el registro de la intensidad multiplicada por un factor de escala apropiado): los decibelios se aproximan a cómo los humanos perciben el volumen.

Apéndice: Bien, se podría decir, ¿por qué tiene que ser log, en lugar de raíz cuadrada o alguna otra curva que tenga una forma similar? Bueno, tendría razón en que no tiene que ser log, y de hecho, se sabe que log no es 100% preciso (aunque es una aproximación decente). Sin embargo, hay una buena interpretación de la escala logarítmica. Si el aumento más pequeño detectable por el hombre en la intensidad del sonido es proporcional a la intensidad del sonido actual, entonces puede demostrar (resolviendo la ecuación diferencial correspondiente) que la sensación cualitativa de volumen aumentará logarítmicamente con la intensidad del sonido. Este principio se extiende más allá del oído a otros sentidos también, y se conoce como la ley de Weber-Fechner.

Answer 3

• El uso de logaritmos ya está cubierto en gran parte por las respuestas aquí. Sin embargo, el uso de logaritmos puede ir más allá de estos escenarios prácticos.
• Estudios recientes muestran que la organización muy estructural y funcional de nuestros cerebros, a varias escalas (fuerzas sinápticas, tasas de activación de neuronas, sincronía poblacional, conectividad macroscópica, etc.) exhiben propiedades inherentemente logarítmicas. [2], [1]
• La utilidad de la escala logarítmica para la percepción del sonido ( escala de decibelios explicada en la respuesta de Robin Jia ) y otros sentidos puede ser solo una consecuencia de esto. Esa es la respuesta a un estímulo sensorial, como la luz o el sonido, es proporcional al logaritmo de la amplitud del estímulo (ley de Weber-Fechner).
• Una revisión publicada en Science este mes (febrero de 2015) sugiere que los mecanismos neuronales responsables incluso de nuestro sentido del espacio pueden estar respaldados por estadísticas lognormales (distribución normal en la escala logarítmica). [1], [3]
• Esta revisión se basa en un experimento realizado en ratas. Las ratas, como nosotros, tienen una región del cerebro donde se codifica el mapa espacial de los alrededores. Una ubicación específica en el entorno activará un conjunto de neuronas que codifica esa ubicación en particular. [3]
• El objetivo del experimento era descubrir qué sucede si aumenta el número de entornos encontrados. El experimento reveló un registro como el reclutamiento de nuevas células. Es decir, la mayoría de las celdas responden a una ubicación o no responden en absoluto, mientras que un pequeño número se dispara en varias ubicaciones. La minoría de las neuronas que se disparan en múltiples ubicaciones dotan al cerebro de la capacidad de considerar ninguna situación como completamente desconocida porque cada callejón, montaña, río o habitación tiene elementos de situaciones similares previamente experimentadas. [1]
• Esta forma de codificación sugiere que la minoría de células que disparan a través de diferentes entornos puede ser responsable de generalizar a través de los entornos, dando una solución “suficientemente buena” para sobrevivir, mientras que la mayoría de las neuronas menos activas se pueden utilizar para distinguir con precisión una ubicación de otra . [1]
• Otros estudios sugieren que nuestra percepción de la distancia, el tiempo y el tiempo de reacción también puede variar logarítmicamente. La toma de decisiones y la acumulación de errores de memoria a corto plazo también obedecen la ley de Weber-Fechner. La organización mental de los números también se describe mediante una escala logarítmica. [2]

Para resumir,

Nuestros cerebros parecen usar escalas logarítmicas para el procesamiento de información / sensorial y el reclutamiento logarítmico de células para la codificación de información, como la construcción de mapas espaciales del entorno.

Figura

Recuadro 1 | Distribuciones normales y lognormales.

La distribución normal (gaussiana) es una distribución de probabilidad continua y no es cero en toda la línea real. Se caracteriza por una curva en forma de campana que es simétrica alrededor de la media, y puede cuantificarse mediante dos parámetros: la media y la DE. La distribución logarítmica es una distribución de probabilidad de una variable aleatoria cuyo logaritmo se distribuye normalmente; en otras palabras, X se distribuye de manera lognormal si log (X) tiene una distribución normal. (Consulte la figura, parte a, que muestra la tasa de activación de las neuronas piramidales CA1 del hipocampo durante el sueño de onda lenta (SWS) en el eje x, representada en la escala lineal (izquierda) y la escala logarítmica (escala logarítmica; derecha); la mediana (con el primer y el tercer cuartil), la media aritmética (± DE) y la media geométrica (± DE) en la escala logarítmica se muestran sobre los histogramas). Esto es cierto independientemente de la base de la función logaritmo. Si loga (X) se distribuye normalmente, logb (X) también se distribuye normalmente (a, b ≠ 1, a> 0 y b> 0). Si X se distribuye de forma lognormal con los parámetros de ubicación y escala μ y σ, entonces log (X) se distribuye normalmente con la media μ y SD σ. La distribución logarítmica se puede caracterizar por la media geométrica y la SD geométrica; a saber, la media geométrica es igual a eμ y la SD geométrica es igual a eσ, ya que la distribución lognormal es unimodal en la escala logarítmica. La media geométrica de una variable aleatoria lognormal es igual a su mediana. Una variable aleatoria que es la suma de muchas variables independientes tiene una distribución normal aproximada (como se indica en el teorema del límite central). Del mismo modo, una variable aleatoria que es el producto multiplicativo de muchas variables independientes tiene una distribución lognormal aproximada (esto se justifica por el teorema del límite central en el dominio logarítmico). La suma de muchas variables normales independientes es en sí misma una variable aleatoria normal, mientras que los productos y cocientes de variables aleatorias lognormales son en sí mismas variables aleatorias lognormales; es decir, son auto-similares. La multiplicación o división de dos variables positivas se puede calcular sumando o restando los logaritmos y tomando el antilog de esa suma o diferencia, respectivamente3,149. Para la capacidad de las neuronas de realizar interacciones multiplicativas (operaciones antilógicas o de exponenciación), ver REFS 131,133,134. En la distribución normal, la probabilidad de un valor varias SD por encima de la media es prácticamente cero. Por lo tanto, en la práctica, los extremos de las distribuciones a menudo se truncan, considerando esos valores como “valores atípicos”, para que la distribución se vea más gaussiana. Cuando valores mayores de tres veces la DE por encima de la media están presentes en los datos, es aconsejable trazar la distribución en una escala logarítmica. Aunque las parcelas transformadas por registros parecen tan simples como la distribución normal, su comprensión intuitiva es difícil. Los estudios que analizan la distribución de explosiones de población in vitro han sugerido que reflejan una ley de poder (‘avalancha’) 115. Es notable que la cola derecha de la distribución lognormal a menudo sigue una ley de potencia (vea la figura, parte b, que muestra los mismos datos que la parte a en un gráfico log-log de densidad de probabilidad de tasa de disparo y tasa de disparo; los puntos negros indican los contenedores fuera de la media + 1SD en las transformaciones logarítmicas, la línea de regresión (roja) se basa en los puntos negros), aunque un requisito estricto de la ley de potencia requiere distribuciones log-logarítmicas en varios órdenes de magnitud1. Para ser justos, la distinción entre distribuciones de leyes lognormales y de poder no es trivial. La ley de potencia y las distribuciones lognormales se conectan naturalmente, y modelos generativos similares pueden conducir a una u otra distribución, dependiendo de variaciones menores150. Si la varianza en la cola izquierda es grande, o ‘ruidosa’, debido a muestras de datos limitadas, una distribución lognormal puede aparecer como una línea en un gráfico log-log. Además, si los datos se limitan a un valor arbitrario, como suele ser el caso en la práctica, el mínimo limitado puede generar una ley de potencia en lugar de una distribución lognormal. Sin embargo, una distribución lognormal tiene una media y una varianza finitas, en contraste con la baja distribución de potencia de los sistemas sin escala. Distinguir las distribuciones de leyes lognormales y de poder es importante para comprender su origen biológico.

El cerebro log-dinámico: cómo las distribuciones sesgadas afectan las operaciones de la red, Nature reviews, 2014

Referencias

1. Nuestro sentido distorsionado del espacio, Ciencia Feb 2015
2. El cerebro log-dinámico: cómo las distribuciones sesgadas afectan las operaciones de la red, Nature reviews, 2014
3. Colocar células en el hipocampo: once mapas para once habitaciones, PNAS DEC 2014

Answer 4

Los logaritmos son el inverso de las funciones exponenciales. Similar a la resta y la división (que son los inversos de la suma y la multiplicación), los logaritmos nos permiten resolver expresiones que de otra forma no tendrían forma cerrada. Por ejemplo, la expresión

[matemáticas] 2 ^ x = 4 [/ matemáticas];

Esta es una expresión fácil, y solo por observación podemos notar que [math] x = 2 [/ math] resolvería nuestro problema. Sin embargo, si tuviéramos una expresión un poco más complicada como

[matemáticas] 2 ^ x = 5 [/ matemáticas]

no podríamos resolver esto por inspección. ¡Y es por eso que tenemos logaritmos! Podemos escribir la solución de este problema como:

[matemáticas] x = \ log_2 {5} [/ matemáticas]

Una calculadora puede simplificar esto a aproximadamente 2.3219 …… y si lo conecta a la expresión original, [matemática] 2 ^ {2.3219 …} [/ matemática] obtendría 5 (puede haber errores de redondeo).

Y esa es la razón principal por la que existen logaritmos, para resolver ecuaciones exponenciales

Answer 5

Aquí está mi mejor intento en una respuesta:

Los logaritmos son la cantidad de veces que un número base dado debe multiplicarse por sí mismo para obtener un número que le interese. Por ejemplo, el registro (base10) de 100 es 2, ya que 10 x 10 es 100.

Lo contrario también es cierto. Si termina con un valor de, por ejemplo, 4, y está viendo un registro (base10), entonces sabe que su número original debe haber sido 10 ^ 4, o 10,000.

Lo bueno es que puede agregar valores de registro, si los números base que está utilizando son los mismos. Entonces, de nuestros ejemplos anteriores, 2 + 4 = 6. Lo cual es una forma elegante de decir que 100 x 10,000 = 1,000,000 si estás en la base 10.

Sí … se desarrollaron logaritmos para que puedas multiplicar números muy grandes rápidamente. En tiempos antiguos, había un libro que tenía todos los valores (de, digamos 10 ^ 2.3) para que pudiera poner fácilmente sus números en la base 10, y luego convertir fácilmente su respuesta hacia abajo desde la base 10. (Eso es diferente de un ¡Libro de registro náutico, para estar seguro! La conexión etimológica es pura coincidencia.)

Esa es la historia de para qué fueron desarrollados los logaritmos, por John Napier, en el siglo XVII, creo. Son inmensamente importantes ahora en muchos tipos de modelos, ya que al mundo natural parece gustarle diferentes dimensiones, que, en cierto modo, son equivalentes a diferentes números de base logarítmicos.

Answer 6

Los logaritmos son como contar el número de dígitos, excepto un poco mejor. ([math] \ texttt {log} _ {10} \ 55,000> \ texttt {log} _ {10} \ 22,000 [/ math] a pesar de que ambos tienen dígitos [math] \ texttt {5} [/ math]. [math] \ texttt {log} [/ math] da crédito por obtener parte del camino a los dígitos [math] \ texttt {6} [/ math] incluso si no llega allí).

Un uso de los dígitos de conteo es hablar sobre cosas en diferentes órdenes de magnitud o “no en el mismo estadio” . Por ejemplo, las bajas de la Segunda Guerra Mundial se estiman entre 62,171,600 y 78,041,700 . El margen de error en sí mismo (16 millones de muertes) podría contar como su propio desastre humano. Y hay muchas formas de clasificar las muertes, así como diferentes formas de estimarlas.

Solo puedo entender la situación diciendo “decenas de millones de muertes, casi cientos de millones” (población mundial de 2.200 millones antes de la guerra). Así que el pop mundial tenía 9 dígitos; las muertes fueron de 7 dígitos, casi 8.

Al hacer esto con un poco mejor [math] \ texttt {log} _ {10} [/ math]:

• [matemática] \ texttt {log} _ {10} \ 78041700 = 7.8 [/ matemática] mayor estimación de muertes
• [matemática] \ texttt {log} _ {10} \ 62171600 = 7.8 [/ matemática] menor estimación de muertes
• [matemáticas] \ texttt {log} _ {10} \ 2240000000 = 9.4 [/ matemáticas] población mundial 1939

Por lo tanto, contar dígitos ha reducido estos números a algo que puede analizar con sus diez dedos.

De esta manera, los registros ayudan a comparar otras destrucciones inconcebibles de la vida humana:

• [matemática] \ texttt {log} [/ matemática] Khmer Rouge: 6.2 – 6.4 (de [matemática] \ texttt {log} [/ matemática] población camboyana: 6.9)
• [matemáticas] \ texttt {log} [/ matemáticas] Guerra civil española: 5.1
• [matemáticas] \ texttt {log} [/ matemáticas] Rebelión Taiping: 5.1
• [matemática] \ texttt {log} [/ matemática] RMS Titanic: 3.2
• [matemática] \ texttt {log} [/ matemática] Gran salto adelante: 7.3 – 7.5 – 7.7
• [matemáticas] \ texttt {log} [/ matemáticas] Guerra del Golfo: 4.5

Entonces, mientras que los recuentos de pérdida de vidas humanas en estos conflictos dispares serían, para mí, difíciles de entender por las cifras crudas, ahora puedo pensar:

• WW2 ~ 8 / 9½
• Khmer Rouge ~ 6½ / 7
• Guerra Civil Española ~ 5
• Rebelión Taiping ~ 5
• Gran salto adelante ~ 7½
• Guerra del Golfo # 1 ~ 4½
• Titanic ~ 3

con esos números funcionando como la escala de terremotos de Richter, donde un punto más alto es diez veces peor.

Ahora sé “cuánto peor” fue la Segunda Guerra Mundial que el hundimiento de The Titanic : 5 pasos de registro peor = 10 ^ 5 veces peor = 100,000 veces peor. Podríamos decir que “no están en el mismo estadio”. Mientras que la Guerra Civil española y la Rebelión de Taiping están “en el mismo estadio” o en la misma escala. (Aunque difieren en el costo exacto en vidas humanas, son al menos comparables).

Answer 7

Un logaritmo es solo el poder al que tienes que subir un número (“la base”) para obtener otro número.

Por ejemplo, si está trabajando con logaritmos hasta la base de diez, entonces log (1000) es 3, porque tengo que elevar diez a la potencia de tres para obtener 1000.

Todo esto es solo una forma elegante de expresar el hecho de que 10 x 10 x 10 = 1000, señalando que tuve que multiplicar diez por sí mismo tres veces. “El registro 1000 es 3”

Como las matemáticas y la ciencia en general tienen que lidiar constantemente con los poderes de los números, los logaritmos son muy útiles. El cálculo es otra cosa; el cálculo es una rama de las matemáticas que ciertamente puede involucrar logaritmos, pero no tiene que ser así. No explícitamente de todos modos.

Una forma particular de usar logaritmos es ajustar lo que de otro modo serían grandes cantidades en gráficos o descripciones manejables. Los decibelios, a menudo utilizados para medir la intensidad del sonido pero también útiles para otros fines, son un ejemplo particular de esto.

Podemos escuchar sonidos que van desde lo que podríamos llamar extremadamente silencioso hasta extremadamente alto; El cambio en el nivel de potencia real es enorme. Entonces usamos logaritmos para expresar el rango de posibles sonidos de manera mucho más compacta.

O mire una tabla de frecuencias de radiación, por ejemplo; la escala horizontal cuenta atrás en potencias de diez; Es una escala logarítmica. De lo contrario, sería inmanejablemente grande. En lugar de decir “0.00000001”, podemos decir -8, porque log (0.00000001) es -8. Lo cual es mucho más fácil.

Antes de que se inventaran las calculadoras, los logaritmos se usaban para realizar grandes multiplicaciones, entre otras cosas. El logaritmo de dos números multiplicados juntos es simplemente los logaritmos de cada uno de los números por separado, sumados. Entonces, si tiene un libro de tabla de búsqueda masiva, puede multiplicar a través de adiciones. Lo que sorprendentemente ahorra bastante trabajo para grandes números, a pesar de tener que buscar logaritmos.

Answer 8

Uno de los tipos más comunes de cantidades cambiantes es donde la tasa de cambio de esa cantidad es proporcional a esa cantidad. Eso está modelado por la ecuación diferencial exponencial.

Un ejemplo: poblaciones, al menos durante un corto período de tiempo. El número de nacimientos de nuevos organismos es proporcional al número de organismos.

Estas son cantidades de crecimiento exponencial (o disminución en el caso de una constante proporcional negativa) y ocurren en biología, física, negocios y banca, ingeniería y ciencias sociales. La retroalimentación positiva da un crecimiento exponencial; negativo da decadencia exponencial.

Napier estudió este crecimiento en 1600 y lo llevó a la invención de los logaritmos. Siempre que tenga un crecimiento o decaimiento exponencial, y tenga un problema establecido como una ecuación, puede resolver esa ecuación usando el inverso de la función exponencial, y ese inverso es la función logarítmica.

Puede usar el cálculo para analizar la ecuación diferencial exponencial, la función exponencial y la función logarítmica. Por el contrario, las funciones logarítmicas y exponenciales son herramientas utilizadas en todo el cálculo.

Answer 9

¡Los logaritmos son extremadamente útiles!

Convierten la multiplicación en suma.
Convierten poderes en multiplicación.

Ejemplo:
[matemáticas] 1.5 ^ 25.3 [/ matemáticas]

Si necesitamos calcular 1.5 a la potencia de 25.3, podemos tomar el logaritmo de 1.5, multiplicar esto por 25.3 y tomar el antilogaritmo. Tomemos la base 10 para este ejemplo.

log 1.5 = 0.176091259
0.176091259 veces 25.3 = 4.45510885411
10 ^ 4.45510885411 = 28517.3295296

Entonces 1.5 ^ 25.3 = 28517.3295296

Answer 10

Los logaritmos aparecen en casi cualquier aplicación donde surgen exponenciales; después de todo, si necesita resolver algo que se parece a [matemáticas] x = e ^ y [/ matemáticas], tomaría el registro de ambos lados. (Otra razón por la que surgen los registros es el cálculo: [matemática] \ int \ frac {1} {x} dx = \ log x + c [/ matemática]).

Dicho esto, en su mayoría aparecen en aplicaciones de ciencia e ingeniería. Por ejemplo, en el análisis de complejidad (algoritmos), muchos algoritmos tienen una complejidad temporal [matemática] O (\ log n) [/ matemática] (por ejemplo, inserción y eliminación de árbol binario y montón) o complejidad [matemática] O (n \ log n ) [/ math] (la mayoría de los algoritmos de clasificación); El algoritmo de Dijkstra (implementado con un montón de Fibonacci) para encontrar rutas más cortas lleva tiempo [matemáticas] O (m + n \ log n) [/ matemáticas] para un gráfico con vértices [matemáticas] n [/ matemáticas] y [matemáticas] m [ / matemáticas] bordes.

Otra aplicación de logaritmos es en estadística: si tiene dos variables y está tratando de encontrar un ajuste de potencia (es decir, [matemática] y = bx ^ a [/ matemática] para algunas constantes [matemática] a, b [/ matemática]), luego graficando [math] y ‘= \ log y [/ math] versus [math] x’ = \ log x [/ math] y encontrando un ajuste lineal entre [math] y ‘[/ math] y [math] x’ [/ math] le dará un ajuste de poder entre [math] x [/ math] y [math] y [/ math].

Otra cosa interesante que puede hacer con los logaritmos es usarlos para calcular la cantidad de dígitos que tiene un número: para un entero positivo [matemática] x [/ matemática], esto es [matemática] \ lfloor \ log_ {10} (x) \ rfloor + 1 [/ math] (suponiendo representaciones de base 10). Por lo tanto, tomar el registro de un número es más o menos equivalente a calcular el exponente del número cuando se escribe en notación científica.

Otra forma de usar logaritmos es resolver problemas combinatorios. Por ejemplo, supongamos que necesitamos almacenar una pieza de datos que tenga valores [math] v [/ math] posibles, entonces necesitamos [math] \ lceil \ log v \ rceil [/ math] bits para almacenarla. Esto explica por qué las computadoras de 64 bits son mucho mejores que las computadoras de 32 bits: cada pieza de datos tiene el doble de bits, pero esto en realidad significa que tiene un estado adicional de [matemática] 2 ^ {32} [/ matemática].

Otro beneficio de los logaritmos es desde el punto de vista computacional: si puede convertir de un número a su registro y viceversa con bastante facilidad, entonces, en lugar de multiplicar de la manera normal, puede tomar el registro de ambos números, agregarlos y transformar de nuevo – es decir, [math] xy = 10 ^ {\ log x + \ log y} [/ math] – el RHS puede ser más rápido de calcular (podemos construir tablas de valores para [math] \ log x [/ math] y [math ] 10 ^ x [/ math], por lo que no necesitamos repetir estos cálculos con frecuencia). Del mismo modo, los registros se pueden usar para simplificar la división y la exponenciación.

Otra razón por la que los registros están en tantos lugares es su utilidad para resolver ecuaciones diferenciales. Supongamos que sabemos que alguna variable [matemática] y [/ matemática], que es una función de [matemática] x [/ matemática], es proporcional a su tasa de cambio (con respecto a [matemática] x [/ matemática]) [ matemáticas] y ‘[/ matemáticas]. Entonces tenemos [math] y ‘/ y = k [/ math] que implica [math] \ log | y | = kx + c [/ math] (que luego da [math] y = de ^ {kx} [/ math] para [math] d = \ pm e ^ c [/ math]).

Answer 11

Es conveniente pensar que los logaritmos son primos de enésimas raíces. Estas son dos formas de “deshacer” la operación de aumento de potencia.

La suma y las multiplicaciones son operaciones simétricas: no importa qué número venga primero al calcular (esta simetría es lo que se llama “propiedad conmutativa”). Por lo tanto, hay una forma única de “deshacer” para cada uno (resta y división, respectivamente).

Pero los poderes de aumento no son así: hay una gran diferencia entre la base y el exponente. Esto hace que “deshacer” dos tareas diferentes: si uno conoce el exponente y quiere la base, debe realizar una enésima raíz. Si uno conoce las bases y quiere conocer al exponente, ¡debería realizar un logaritmo!

Hay muchas situaciones en las que el exponente es lo que queremos saber, al igual que calcular los tiempos de duplicación del dinero en ciertas inversiones (ver interés compuesto) o el número de individuos en una población (ver ley de Malthus).
Otra situación simple en la que se emplean logaritmos es calcular la velocidad en un método de búsqueda inteligente (ver búsqueda binaria). Los logaritmos, por definición, se utilizan en el análisis de cada fenómeno exponencial.

Los logaritmos también tienen una buena propiedad que permite una multiplicación más rápida: transforma los productos en sumas. Esto fue fundamental en el tiempo anterior a las calculadoras. Para esto utilizamos tablas logarítmicas y reglas logarítmicas.

Answer 12

2 es dos veces más grande que 1. Y 4 es dos veces más grande que 2. Y 8 es dos veces más grande que 4. Pero la brecha entre 1 y 2 no es la misma que la brecha entre 2 y 4. Y ambos son menor que la brecha entre 4 y 8.

Los logaritmos son una forma de mostrar qué tan grande es un número en términos de cuántas veces tienes que multiplicar un cierto número (llamado base) para obtenerlo. Si está utilizando 2 como base, entonces un logaritmo significa “¿cuántas veces tengo que multiplicar 2 para llegar a este número?”.

Como 2 * 2 = 4, el logaritmo de 4 es 2.

Como 2 * 2 * 2 = 8, el logaritmo de 8 es 3 (suponiendo que esté usando 2 como base. Realmente puede usar cualquier número que desee. Los números más comunes para usar son 2, 10 y 2.71828).

Los logaritmos son útiles porque son la forma en que nuestro cerebro entiende naturalmente la mayoría de las cosas. Si hay dos artículos similares que cuestan $ 2 y $ 4, entonces los $ 4 son mucho más caros que los de $ 2. Probablemente compraría el artículo de $ 2. Si tiene dos artículos que cuestan $ 100 y $ 102, entonces la diferencia no es mucha, y puede comprar el más caro. La brecha entre estos dos es la misma, pero tienes que multiplicar 2 una vez para llegar a 2, y dos veces para llegar a 4, ¡eso es un total de dos adicionales! Tienes que multiplicar dos 6.6 veces para llegar a 100 y 6.7 veces para llegar a 102; esa es una diferencia de solo 0.1 dos cuando piensas en logaritmos.

Answer 13

El logaritmo natural tiene el número e (≈ 2.718) como base; Su uso está muy extendido en matemáticas y física, debido a su derivada más simple. El logaritmo binario usa la base 2 (es decir, b = 2) y se usa comúnmente en informática.

Los logaritmos son principalmente los inversos de la función exponencial. Históricamente, los académicos de matemáticas utilizaron logaritmos para cambiar los problemas de división y multiplicación en problemas de resta y suma, antes del descubrimiento de las calculadoras.

También utilizamos propiedades y aplicaciones de logaritmos en diversas circunstancias geológicas:

1. Estimar los datos en registros obtenidos de escalas de magnitud para terremotos.
2. Los geólogos también utilizan logaritmos para encontrar la relación Gutenberg-Richter.
3. Luego, también usan registros para calcular las alteraciones en el CO2 atmosférico, el crecimiento de la población.
4. Finalmente, los geólogos prefieren las aplicaciones de logaritmos en la estimación de la datación por desintegración radiactiva, sedimentología y para determinar los tamaños de grano.

En álgebra general, si ve una ecuación 4 ^ x = 16, entonces necesita hacer algunas conjeturas para resolver esa x desconocida. Esto es muy fácil, si entiendes tus exponentes lo suficientemente bien, puedes calcular fácilmente que x = 2.
Desafortunadamente, estas conjeturas no son un tipo de Matemáticas y requieren mucho tiempo, si tiene expresiones y números complejos para resolver.
Los logaritmos son una función matemática, que abordan estas conjeturas evitando el consumo de tiempo para resolver tales problemas fácilmente. Los logaritmos simplifican las matemáticas y ayudan a escribir las relaciones en una función matemática comprensible …

Answer 14

Las serpientes víboras en el arca de Noé estaban tan mareadas que no podían poner huevos. Entonces Noé les hizo una mesa giratoria con troncos. Con menos balanceo, eso hizo el truco.

Hoy decimos: “Con la ayuda de una tabla de registro, incluso los sumadores pueden multiplicarse”.

Answer 15

Muchos puntos buenos en las otras respuestas. Tiendo a pensar en log10s como ‘contar el número de dígitos (insignificantes)’ en un número. Entonces log (base10,100) = 2, log (base10,1000) = 3. En el otro extremo de la escala, log (base10,0.01) = -2.

Naturalmente, también hay valores intermedios.

Esto es útil, porque si está multiplicando números grandes como 100 y 1000, solo está agregando sus registros, 2 y 3, lo que da como resultado un número con 5 dígitos después del significativo: 100000.

Eso es solo una heurística, por supuesto. No creo que la analogía vaya a números complejos, que también tienen registros.

Answer 16

Un logaritmo es una de las dos funciones inversas de exponenciación.

Pero para comprender lo que significa la declaración anterior, primero debe comprender qué es una función inversa y el término; exponenciación

Para explicar qué función inversa, daré un par de pasos hacia atrás.

Además es cuando agrega un número con un segundo para obtener un tercero.

Esto se puede escribir como a + b = c

La resta se considera la función inversa de la suma porque el tercero menos el segundo te da el primero y menos el primero te da el segundo. cb = a, ca = b

La multiplicación es cuando multiplicas un número por un segundo para obtener un tercero.

Esto se puede escribir como a * b = c

La división se considera la función inversa de la multiplicación porque el tercero dividido por el segundo te da el primero y dividido por el primero te da el segundo. c / b = a, c / a = b

La exponenciación es cuando aumenta un número la potencia de un segundo para obtener un tercero.

Esto se puede escribir como a ^ b = c

La inversión de la exponenciación es un poco más complicada. Dada “c” y “b”, usted es capaz de descubrir “a” a través de la raíz “b” de “c”

Entonces podemos encontrar “a” en a ^ b = c dado byc, pero ¿cómo encontramos b?

No podemos usar el mismo método porque los valores “a” y “b” no conmutan cuando se usan para exponenciación de la misma manera que lo hacen la suma y la multiplicación.

En cambio, debemos crear una pregunta:

Dadas “a” y “c”, ¿qué necesitamos para elevar “a” al poder de llegar a “c”?

Esto se puede escribir matemáticamente como:

a ^ x = c. ¿Qué es x?

Esto es cuando entra el logaritmo.

De la declaración matemática anterior, podemos aislar x de la ecuación:

Log (c) base (a) = x

Esta ecuación toma “a” y “c” y produce x.

Escriba esto en una calculadora y encontrará x y por lo tanto “b”

Gidon Out

Answer 17

se pueden encontrar en innumerables casos reales porque pueden disminuir la escala en escalas gráficas u otras escalas de referencia, por ejemplo:

1) El decibel (dB) es una unidad logarítmica que indica la relación de una cantidad física (generalmente potencia o intensidad) en relación con un nivel de referencia especificado o implícito.

2) En sismología para describir los efectos de un terremoto utilizando la escala de Richter, según la cual la magnitud del terremoto se calcula con:

3) En astronomía, el brillo de las estrellas (“magnitud”) se calcula en una escala logarítmica.

4) En química, el cálculo del pH es el opuesto del logaritmo de base 10 de la concentración de iones de hidrógeno [H +].

Answer 18

Los logaritmos (un antilogaritmo) son una herramienta muy útil para las matemáticas, la física, la química, etc.

Multiplicación y división es mucho más fácil.

Encontrar poderes, Roots es una tarea difícil. Pero con la ayuda de logaritmos, los cálculos son mucho más fáciles.

Por ejemplo, [math] \ sqrt {1024}, \ sqrt [3] {216} [/ math] se puede extraer con menos esfuerzo. Con la ayuda de logaritmos y antilogaritmos, la multiplicación, división, exponenciación, la búsqueda de raíces se hace fácil.

Answer 19

Los logaritmos son otra forma de pensar sobre los exponentes.

Los logaritmos se inventaron hace mucho tiempo, en los años 1500 o 1600. En ese momento, las calculadoras no existían. Para hacer multiplicaciones, divisiones y extracción de raíces con números que tienen cinco o más dígitos, se requiere mucho tiempo y trabajo. Los logaritmos redujeron la cantidad necesaria de trabajo en una gran cantidad, mucho más de la mitad, supongo.

Ahora que las calculadoras y las computadoras son comunes, los logaritmos siguen siendo muy, muy útiles, pero de una manera totalmente diferente. Están muy relacionados con funciones exponenciales.

Por ejemplo:

probablemente ya sepa que y = a ^ x es equivalente a log_a (y) = x, donde log_a (y) es la base de un logaritmo de y. La función exponencial y = a ^ x es una de las funciones más importantes en matemáticas, física e ingeniería. La desintegración radiactiva, el crecimiento bacteriano, el crecimiento de la población, el interés continuo … todos implican funciones exponenciales. Debido a la relación de que y = a ^ x es equivalente a log_a (y) = x, los registros son igualmente importantes.

Con respecto a las diferentes bases:

1. los químicos usan la base 10 en sus mediciones de pH, la acidez de un líquido;
2. la base 2 se usa en la teoría de la información y las computadoras (se usa para transmitir información y medir los errores cometidos y cómo corregirlos);
3. base e , donde e = 2.718281828 …, se usa en cálculo y es probablemente la base más importante.
4. base 5 o base 7 no tienen importancia real, aparte de proporcionar práctica para trabajar con logaritmos.

fuente

Answer 20

Las funciones logarítmicas tienen todo tipo de aplicaciones, que dependerán de lo que elijas hacer para una carrera. Se utilizan ampliamente en las ciencias naturales, ingeniería, finanzas y economía.

Aquí están algunos ejemplos.

• Descomposición exponencial: [matemática] N (t) = n_ {0} e ^ {- rt} [/ matemática]. Esto es aplicable a la farmacología, fondos de jubilación, protocolos de enrutamiento en informática y reacciones químicas. Incluso se ha demostrado que la espuma de cerveza obedece las leyes de la descomposición exponencial.
• Crecimiento exponencial: [matemáticas] P (t) = P_ {0} e ^ {rt} [/ matemáticas]. Esto se utiliza para calcular el crecimiento de bacterias en los cultivos, el crecimiento de las poblaciones, el crecimiento económico, el colapso de avalanchas y la ley de Moore.
• Interés compuesto: [matemáticas] A (t) = P (1 + \ frac {r} {n}) ^ {nt} [/ matemáticas]