Los dos lados son claramente iguales (simplemente multiplíquelo y verifíquelo). ¿Pero “cómo” haces cosas como esta?
La respuesta es utilizar el método (antiguo) de “completar el cuadrado”, que se aplica a expresiones polinómicas cuadráticas (que contienen términos como [matemática] x ^ 2 [/ matemática] y [matemática] x [/ matemática] y solo constantes) y, por cierto, es una forma clara de derivar la famosa fórmula para las soluciones de una ecuación cuadrática (que la mayoría de nosotros aprendemos de memoria).
Así es como funciona.
En primer lugar, veamos cómo se ve un cuadrado de un término simple (aquí, [math] k [/ math] es solo un número arbitrario).
- ¿Cuál es la relación entre la capacidad de decisión de un predicado y la capacidad de cálculo de una función?
- ¿Cuál es el área del triángulo formado por el gráfico f = 9C / 5 + 32 con el eje F y el eje C?
- ¿Cómo encuentro el inverso de f (x) = x + (1 / x)?
- ¿Existen dos números, digamos [math] x [/ math] y [math] a [/ math], de modo que [math] \ sqrt {x – a} [/ math] es igual a [math] \ sqrt { x} – a [/ matemáticas]?
- Sea f (x) una función continua de manera que el área delimitada por la curva y = f (x), el eje xy las líneas x = 0 yx = a esté dada por a ^ 2/2 + (a / 2) sin a + (pi / 2) cos a, entonces, ¿qué es f (pi / 2)?
[matemáticas] (x + k) ^ 2 = x ^ 2 + 2kx + k ^ 2 [/ matemáticas]
Esto es solo “multiplicarse”. Ahora mira la expresión con la que comenzamos:
[matemáticas] 9x ^ 2 + 6x – 5 [/ matemáticas]
¿Podemos elegir el valor de [math] k [/ math] para obtener al menos los dos primeros términos de esta expresión? Estos son los que contienen [matemáticas] x [/ matemáticas].
Bueno, no, porque tenemos [matemáticas] 9x ^ 2 [/ matemáticas] y no [matemáticas] x ^ 2 [/ matemáticas]. Pero eso se puede “resolver” simplemente dividiendo entre [matemáticas] 9 [/ matemáticas] primero. Por lo tanto, queremos generar [math] (x ^ 2 + \ frac {2} {3} x) [/ math] desde un cuadrado y luego multiplicar por [math] 9 [/ math] para obtener los dos términos que involucran [ matemáticas] x [/ matemáticas].
Entonces tomamos [math] k = \ frac {1} {3} [/ math] (porque el término medio de nuestro cuadrado es [math] 2kx [/ math]) y luego:
[matemáticas] 9 (x + \ frac {1} {3}) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] = (3x + 1) ^ 2 [/ matemáticas] (porque [matemáticas] 9 = 3 ^ 2 [/ matemáticas])
[matemáticas] = 9x ^ 2 + 6x + 1 [/ matemáticas]
(Fue fácil resolver [matemáticas] k [/ matemáticas]. ¿Podemos generalizar esto? Sí, ver más abajo).
Ahora, la única diferencia entre este cuadrado y la expresión original es que necesitamos [matemáticas] -5 [/ matemáticas] y no [matemáticas] +1 [/ matemáticas]. Ok, solo resta [matemáticas] 6 [/ matemáticas], y la respuesta se revela.
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Aquí se explica cómo hacerlo en general. Supongamos que tenemos una expresión cuadrática:
[matemáticas] ax ^ 2 + bx + c [/ matemáticas]
y notaremos que, para que esto sea una verdadera cuadrática, [math] a [/ math] no debería ser cero.
Los primeros dos términos se pueden escribir como [matemáticas] a [/ matemáticas] veces [matemáticas] (x ^ 2 + \ frac {b} {a} x) [/ matemáticas]. Pero sabemos cómo obtener esos dos términos de un cuadrado, simplemente tome el cuadrado de [matemáticas] x [/ matemáticas] más la mitad de [matemáticas] \ frac {b} {a} [/ matemáticas], es decir [matemáticas] (x + \ frac {b} {2a}) [/ math]. Y obtenemos:
[matemáticas] x ^ 2 + \ dfrac {b} {a} x + (\ dfrac {b} {2a}) ^ 2 [/ matemáticas].
Entonces esto significa
[matemáticas] a (x + \ dfrac {b} {2a}) ^ 2 = ax ^ 2 + bx + \ dfrac {b ^ 2} {4a} [/ matemáticas]
(cuidado con el último término, he cancelado uno de los [math] a [/ math] s).
Entonces, si restamos ese último término molesto y agregamos [math] c [/ math] …
[matemáticas] \ begin {align} a (x + \ dfrac {b} {2a}) ^ 2 & – \ dfrac {b ^ 2} {4a} + c \\ & = ax ^ 2 + bx + c \ end {alinear} [/ matemáticas]
Ahora aquí está la magia. Si nuestra cuadrática era cero, eso es lo mismo que decir que
[matemáticas] \ begin {align} a (x + \ dfrac {b} {2a}) ^ 2 & = \ dfrac {b ^ 2} {4a} – c \\ & = \ dfrac {b ^ 2 – 4ac} {4a} \ end {align} [/ math]
(¿reconoce ese bit de la derecha?) que podemos dividir por [matemáticas] a [/ matemáticas]:
[matemáticas] (x + \ dfrac {b} {2a}) ^ 2 = \ dfrac {b ^ 2 – 4ac} {4a ^ 2} [/ matemáticas]
Ahora se trata simplemente de echar raíces cuadradas y, para capturar ambas posibilidades, sin olvidar considerar ambos signos:
[matemáticas] x + \ dfrac {b} {2a} = \ pm \ dfrac {\ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a} [/ matemáticas]
(Aviso: [matemáticas] 4a ^ 2 = (2a) ^ 2 [/ matemáticas], así que sacamos esto fuera de la raíz cuadrada).
Así llegamos a la fórmula (famosa) para las “raíces” de una ecuación cuadrática:
[matemáticas] x = \ dfrac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a} [/ matemáticas]
Todo a partir de la observación “simple” de que si cuadras [matemáticas] (x + k) [/ matemáticas] el término medio es [matemáticas] 2k [/ matemáticas] veces [matemáticas] x [/ matemáticas].