¿Qué son las funciones convergentes y divergentes?

Answer 1

Para empezar, la ‘función’ suele ser una serie infinita. Si la suma de series se aproxima a un valor finito ya que tiende al infinito, es una serie convergente. Considere la progresión geométrica infinita de

Esto se obtiene por relación conocida para la suma de GP infinito. Y el valor tiende a un valor finito, 1, incluso con la serie infinita. Esta es la convergencia absoluta. Y esto también puede extenderse a las variables. Simplemente sustituya 2 por x, x ^ 2 e intente resolver 🙂

Si no es así, entonces es una serie divergente.

Otra forma de decir es que si la respuesta para la prueba de razón es r 1 y la prueba falla solo en r = 1

Espero haber sido de ayuda

Answer 2

Una función [matemática] f: A \ rightarrow B [/ matemática] donde [matemática] A [/ matemática] es un conjunto ilimitado totalmente ordenado y [matemática] (B, d) [/ matemática] es un espacio métrico con la métrica [matemática] d [/ matemática] converge al valor [matemática] F [/ matemática] cuando [matemática] x [/ matemática] se acerca al infinito positivo si por cada [matemática] \ epsilon> 0 [/ matemática] existe un valor [math] X (\ epsilon) \ in \ mathbb {A} [/ math] tal que [math] d (F, f (x)) <\ epsilon [/ math] para todos [math] x> X [/matemáticas]. De manera similar, la función converge al valor [matemática] G [/ matemática] cuando [matemática] x [/ matemática] se aproxima al infinito negativo si por cada [matemática] \ epsilon> 0 [/ matemática], existe un valor [matemática] Y (\ epsilon) \ in \ mathbb {A} [/ math] tal que [math] d (G, f (x)) <\ epsilon [/ math] para todos [math] x

Una función [matemática] f: A \ rightarrow B [/ matemática] donde [matemática] A [/ matemática] es un conjunto ilimitado totalmente ordenado y [matemática] (B, d) [/ matemática] es un espacio métrico con metric [math] d [/ math] es divergente si no tiene las propiedades anteriores.

Esto significa esencialmente que si una función se acerca a un cierto valor a medida que su argumento aumenta o disminuye indefinidamente, es convergente. Por ejemplo, la función [math] f: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math] donde [math] f (x) = \ frac {1} {x} [/ math] se acerca a 0 como [matemáticas] x [/ matemáticas] se acerca al infinito positivo o negativo. Podemos escribir esto como [matemáticas] \ lim_ {x \ rightarrow + \ infty} \ frac {1} {x} = 0 [/ math] o [math] \ lim_ {x \ rightarrow – \ infty} \ frac {1 } {x} = 0 [/ matemáticas], respectivamente. Sin embargo, la función [math] g: \ mathbb {R} \ rightarrow \ mathbb {R} [/ math] donde [math] g [/ math] [math] (x) = \ sin x [/ math] no convergen a cualquier valor debido a su naturaleza oscilante.

Answer 3

¿Qué son las funciones convergentes y divergentes?

AFAIK, dos funciones convergieron si al valor muy grande del dominio, la diferencia entre los valores de las funciones no excederá un valor positivo pequeño.

Por ejemplo, la función [matemáticas] y = a ^ \ frac {b} {x} [/ matemáticas] convergerá a la función [matemáticas] y = 1 [/ matemáticas], como el valor de [matemáticas] y = a ^ \ frac {b} {x} [/ math] se está acercando cada vez más a [math] 1 [/ math] a medida que [math] x [/ math] crece.

Las funciones divergentes son básicamente dos funciones cuya diferencia de valores para valores grandes de su dominio crecerá. El par [matemáticas] y = a ^ \ frac {b} {x} [/ matemáticas] y [matemáticas] y = x [/ matemáticas] diverge.

Esto es diferente de la convergencia de la serie.

Answer 4

Una función cuyo valor absoluto es menor que un número [matemática] M> 0 [/ matemática], [matemática] \ forall x \ epsilon \ mathbb {R} [/ matemática], entonces la función es convergente.
De manera similar, para una función divergente, debe existir al menos un valor de [math] x [/ math], de modo que sea mayor que cada valor de [math] M> 0 [/ math].