¿Puede una ecuación cuadrática tener dos raíces imaginarias iguales?

Answer 1

No, suponiendo que se refiere a una ecuación cuadrática con coeficientes reales. Cualquier ecuación cuadrática se puede describir en forma de [matemática] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática], donde [matemática] a [/ matemática], [matemática] b [/ matemática] y [matemática] c [/ math] son ​​reales. Al resolverlo, se obtiene la fórmula cuadrática, [matemáticas] x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a} [/ matemáticas]. Como todo es real, la única fuente posible de partes imaginarias es el componente [math] \ frac {\ pm \ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a} [/ math]. Si dejamos que [math] y = \ frac {\ sqrt {b ^ 2 – 4ac}} {2a} [/ math], tenga en cuenta que [math] + y [/ math] y [math] -y [/ math] no puede ser igual a menos que [math] y = 0 [/ math], en cuyo caso no hay una parte imaginaria.

Si permite coeficientes complejos, entonces es posible. La [matemática] cuadrática (x – i) ^ 2 = x ^ 2 – 2xi – 1 = 0 [/ matemática] tiene una raíz doble en [matemática] x = i [/ matemática].

Answer 2

Solo si permite coeficientes complejos.

Supongamos que hay una raíz doble en [math] a + bi [/ math], donde [math] a, b [/ math] son ​​reales.

(nota: puede establecer a = 0 si desea una raíz doble imaginaria pura)

entonces…

[matemáticas] 0 = (x – a – bi) ^ 2 = [/ matemáticas] [matemáticas] x ^ 2 – 2 (a + bi) x + a ^ 2 – b ^ 2 + 2abi [/ matemáticas]

si ponemos esto en la forma …

[matemáticas] c_2 x ^ 2 + c_1 x + c_0 = 0 [/ matemáticas]

entonces los coeficientes son …

[matemáticas] c_0 = a ^ 2 + b ^ 2 + 2abi [/ matemáticas]
[matemáticas] c_1 = -2a – 2bi [/ matemáticas]
[matemáticas] c_2 = 1 [/ matemáticas]

La única forma de hacer que los coeficientes [matemática] c_0 [/ matemática] y [matemática] c_1 [/ matemática] sean reales, es dejar que [matemática] b = 0 [/ matemática].

Answer 3

No.
Razón:
Para una ecuación cuadrática:
ax² + bx + c = 0; a, b, c son números ‘REALES’; -b / a es la suma de las raíces y c / a es el producto de las raíces.
Si una ecuación cuadrática tiene dos raíces imaginarias iguales, entonces la suma no será un número real (por ejemplo, 2 + 3i + 2 + 3i = 4 + 6i). Su producto puede ser un número real si la raíz es completamente imaginaria (por ejemplo, 3i * 3i = -9).
Las raíces imaginarias son siempre en pares y complementarias. es decir, si una raíz es 2 + 3i, entonces la otra raíz DEBE ser 2-3i.

Answer 4

Recuerda que una vez que conoces las raíces, puedes usarlas para factorizar tu ecuación. Cualquier ecuación cuadrática en la forma [matemática] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemática] puede factorizarse como [matemática] a (x – x_1) (x – x_2) = 0 [/ matemática] donde [matemática] x_1 [/ math] y [math] x_2 [/ math] son ​​las dos raíces. O mejor aún, solo divida la ecuación entre [matemática] a [/ matemática] para que su forma sea [matemática] x ^ 2 + px + q = 0 [/ matemática], que será idéntica a [matemática] ( x-x_1) (x-x_2) = 0 [/ matemática].

Supongamos que tiene una ecuación con dos raíces imaginarias idénticas, [matemáticas] x_1 = x_2 = ui [/ matemáticas] ([matemáticas] u [/ matemáticas] es real). La ecuación correspondiente, entonces, leerá [math] (x-ui) (x – ui) = 0 [/ math], o, [math] x ^ 2 – 2uix – u ^ 2 = 0 [/ math].

Entonces, la respuesta a su pregunta es que sí, puede tener una ecuación cuadrática con dos raíces imaginarias iguales, pero la única si uno de los coeficientes de la ecuación es en sí mismo imaginario.

Answer 5

Suponga que [matemáticas] (a * xb * i) ^ 2 = 0 [/ matemáticas]
Entonces la raíz es b * i / a. Que es una doble raíz e imaginaria

Entonces [matemáticas] a ^ 2 * x ^ 2-2 * a * b * i * xb ^ 2 = 0. [/ Matemáticas]

Entonces, para tener una raíz imaginaria doble, tenemos que tener un término lineal imaginario. Si solo hay coeficientes reales, entonces no hay doble raíz imaginaria.

Answer 6

Sí, por ejemplo, [matemáticas] (zi) ^ 2 = 0 [/ matemáticas].

Answer 7

No. Las raíces complejas siempre vienen como pares conjugados complejos, como 3 + 2i y 3-2i.

Answer 8

Si. (x – i) (x – i) = 0 es decir, x ^ 2 – 2ix – 1 = 0 es una ecuación cuadrática con dos raíces imaginarias iguales. Si te refieres a una ecuación cuadrática con coeficientes reales, la respuesta es No.

Answer 9

Sí, ya que 0 es real e imaginario. Por lo tanto, x ^ 2 = 0 tiene el doble de la misma raíz imaginaria.
De lo contrario, necesitaría coeficientes complejos, como se explica en las otras respuestas.

Answer 10

seguro. supongamos que x ^ 2 * (x + 1i) ^ 2 = 0