Si la función f (x) tiene una intersección x r, ¿por qué (xr) divide la función con un resto cero?

Answer 1

Este no es siempre el caso. Por ejemplo, f (x) = ln (x) tiene una intersección x en 1, pero (x-1) no divide ln (x) con un resto cero. Y f (x) = sin (x) tiene una intersección x en π, pero (x-π) no divide sin (x) con un resto cero.

El principio que está preguntando es válido solo para funciones polinómicas : funciones que toman la forma [matemáticas] f (x) = c_ {1} x ^ {n} + c_ {2} x ^ {n-1} +… + c_ {n-1} x + c_ {n} [/ matemáticas].

La razón por la cual este principio es válido para las funciones polinómicas se debe al teorema fundamental del álgebra. Hay muchas pruebas del teorema enumeradas en el enlace, si tiene curiosidad. Por ahora, es suficiente saber que cualquier función polinómica puede expresarse en la forma factorizada [matemática] f (x) = (x-z_ {1}) (x-z_ {2}) (x-z_ {3}) … (X-z_ {n}) [/ math] para complejos [math] z_ {i} [/ math].

Como tal, para que f (x) tenga una intersección x en r, [matemáticas] f (r) = (r-z_ {1}) (r-z_ {2}) (r-z_ {3} )… (R-z_ {n}) = 0 [/ matemática]. Si todos los términos en la forma polinómica factorizada son distintos de cero, el resultado debe ser distinto de cero; entonces [math] r-z_ {i} = 0 [/ math] para al menos una [math] z_ {i} [/ math]. Por lo tanto, [math] z_ {i} = r [/ math] y [math] x – r [/ math] es un factor del polinomio.

Answer 2

Como dijo Terry Drinkwater, esto solo es cierto para las funciones polinómicas, no para todas las funciones.

En cuanto a por qué es cierto para los polinomios, piénselo de esta manera: si multiplica un grupo de números y obtiene cero, eso significa que al menos uno de esos números también debe ser cero. Nunca puedes multiplicar números distintos de cero y obtener cero. Puede pensar en un polinomio como el producto de algunos factores, por lo que si el polinomio es igual a cero, al menos uno de los factores debe ser igual a cero. Entonces, ¿qué factor sería cero cuando x = r? Bueno, (xr) sería, ya que se convertiría en xx (que siempre es cero).

Answer 3

Lo que estás pensando como una división es evaluar esto … [matemáticas] \ lim_ {x \ to r} \ frac {f (x)} {xr} [/ matemáticas]. Está estimando el valor del límite en la vecindad de x = r, y recuerde que x tiende a r, nunca es x = r.

Answer 4

Asumiendo, como dices en los comentarios a la pregunta, que estás hablando de polinomios.

Una de las propiedades algebraicas de los polinomios es que puedes factorizarlos de forma única (hasta una constante de multiplicación al frente).

Y dependiendo de los números que permita como respuestas, se descompone en diferentes grados. Si se trata de números reales, es posible que no se descomponga tanto, ya que incluso tendrá polinomios sin soluciones reales, por ejemplo, [matemáticas] x ^ 4 + x ^ 2 + 5 [/ matemáticas].

Si permite números complejos como soluciones, entonces cada polinomio se desglosa de forma única como [matemáticas] f (x) = (x-r_1) (x-r_2) … (x-r_n) [/ matemáticas]

Tienes [matemáticas] f (r) = 0 [/ matemáticas].

Entonces, cuando sustituyes eso en lo anterior, obtienes:
[matemáticas] f (r) = (r-r_1) (r-r_2)… (r-r_n) = 0 [/ matemáticas]

Entonces, lo que tienes aquí es un producto de n números que se multiplican por cero. Ahora, una de las propiedades de los sistemas numéricos a los que estamos acostumbrados, racionales, enteros, reales, complejos, es que si dos números se multiplican a cero, al menos uno de ellos es cero. (Damos esto por sentado, pero hay estructuras algebraicas muy similares a los números reales, excepto que no satisfacen esto; puede tener dos elementos distintos de cero que se multiplican por cero)
Este resultado también se escala a productos de n números.

Esto significa que para algunos [math] r_i [/ ​​math], [math] r-r_i = 0 [/ math],
lo que significa [math] r = r_i [/ ​​math], lo que significa que [math] xr [/ math] es parte de la factorización.
Lo que significa que puede reescribir [math] f (x) [/ math] como:
[matemáticas] f (x) = (xr) g (x) [/ matemáticas]

Answer 5

El teorema del resto se puede aplicar aquí. Se afirma que
cualquier polinomio f (x) cuando se divide por xa deja el recordatorio f (a). Como usted dice que r es la intersección con el eje x, f (x) aquí pasa por r y f (r); el resto es esencialmente 0. Como ya se mencionó en otras respuestas, esto es cierto solo cuando f (x) es un polinomio.

Answer 6

En realidad, es bastante simple en la intersección x = r, la función es cero, y la forma de garantizar que la función sea cero es que tenga la forma
f (x) = (xr) g (x)
Donde g (x) puede ser cualquier función pero xr será cero, en x = r,
entonces f (x) también será cero en ese punto