Es bueno que no confíes en la memorización de memoria, pero no estoy seguro de que un enfoque geométrico con el círculo unitario sea la forma más efectiva de no memorizar estas fórmulas. En mi opinión, la forma más rápida de reproducir las derivadas de las funciones trigonométricas inversas es con diferenciación implícita, como esta:
[matemáticas] \ theta = \ arcsin (x) [/ matemáticas]
[matemáticas] x = \ sin (\ theta) [/ matemáticas]. Ahora tomamos la derivada de ambos lados con respecto a [math] x [/ math].
[matemáticas] 1 = \ cos (\ theta) \ theta ‘[/ matemáticas]
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[matemáticas] \ theta ‘= \ frac {1} {\ cos (\ theta)} = \ frac {1} {\ sqrt {1- \ sin ^ 2 (\ theta)}} = \ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ 2}} [/ math].
Esto no proporciona intuición geométrica, pero es simple y breve, y puede usar ese flujo para reproducir, en lugar de memorizar, estas fórmulas según sea necesario.
Sin embargo.
Si quieres entender la geometría detrás de esto, eso también es factible.
Dado un número [matemático] x [/ matemático] entre -1 y 1, puede encontrar [matemático] \ theta = \ arcsin (x) [/ matemático] geométricamente en el círculo unitario de manera muy simple. Se toma un segmento de línea de altura [matemática] x [/ matemática] y se encuadra dentro del círculo de la unidad para que se extienda desde el eje [matemática] x [/ matemática] hasta el círculo. El ángulo subtendido por ese segmento relativo al origen es su [matemática] \ theta [/ matemática].
Ahora, para comprender la derivada de esta [matemática] \ theta [/ matemática] con respecto a [matemática] x [/ matemática], necesitamos agregar un poco más de [matemática] dx [/ matemática] a [matemática] x [ / math] y vea cuánto cambia [math] \ theta [/ math]. Entonces, ahora colocamos un segmento de longitud [matemática] x + dx [/ matemática] dentro del círculo y observamos el ángulo que este segmento más largo forma con el origen:
Para comprender la derivada [math] \ frac {d \ theta} {dx} [/ math] necesitamos observar la relación del ángulo agregado [math] d \ theta [/ math] y la longitud extra [math] dx [/ math], ya que este último se acerca a 0.
Se nos lleva a aproximar el ángulo [matemático] d \ theta [/ matemático], que es la longitud del arco circular de A a B, por la longitud del segmento de línea AB. Esto está bien ya que como [math] d \ theta \ to 0 [/ math] la discrepancia desaparece.
Ahora, observe que los triángulos APB y AA’O son casi similares, y se vuelven más similares a medida que [math] dx [/ math] disminuye. Esto se debe a que el ángulo OAB es casi un ángulo recto y tiende a uno cuando [math] dx \ a 0 [/ math]. Por esa razón, la relación [matemática] BA: BP [/ matemática], que es aproximadamente nuestra [matemática] d \ theta: dx [/ matemática], está muy cerca de [matemática] OA: OA ‘[/ matemática]. Ahora recuerde [math] OA [/ math] es 1 (este es el círculo unitario), y observe que por Pitágoras,
[matemáticas] (OA ‘) ^ 2 + x ^ 2 = 1 [/ matemáticas]. Entonces,
[matemática] \ frac {d \ theta} {dx} = \ frac {1} {OA ‘} = \ frac {1} {\ sqrt {1-x ^ 2}} [/ math]. ¡Eso es!
