Te voy a decir algo que te dejará boquiabierto: [matemáticas] x \ mapsto 1 / x [/ matemáticas] no es más que una rotación.
Para ver esto, necesita la proyección estándar del círculo en la línea real:
La forma en que funciona esta proyección es que fijas un punto en el círculo (en el diagrama anterior, [matemática] N [/ matemática]), y luego miras todas las líneas a través de este punto. Cualquiera de estas líneas se cruza con la línea real en un punto [matemático] P ‘[/ matemático] y el círculo en otro punto [matemático] P [/ matemático]. La proyección solo envía [math] P \ mapsto P ‘[/ math].
- ¿Qué es una función biyectiva?
- ¿Puedes resolver las ecuaciones simultáneas 2x + y = 0 yx – 3y = 0 por sustitución?
- ¿Qué son las funciones convergentes y divergentes?
- ¿Por cuánto tiempo el tamaño del mercado de los videojuegos seguirá siendo una función del tiempo que aumenta monotónicamente?
- ¿Cuál es una forma intuitiva de ver las derivadas de las funciones trigonométricas inversas con el círculo unitario? Dado que todas las funciones se pueden representar en el círculo unitario, las derivadas de sus inversas también deberían poder hacerlo, ¿verdad? La pregunta es, ¿cómo?
Bueno, he sido un poco impreciso. Hay una línea a través de [matemática] N [/ matemática] que no cruza la línea real, específicamente, la línea tangente al círculo en [matemática] N [/ matemática]. Tenemos sentido de esto al decir que [math] N [/ math] se asigna al “punto en el infinito”, que agregamos a la línea real para formar lo que se llama la línea real extendida .
Una vez hecho esto, básicamente podemos identificar el círculo con la línea real extendida; después de todo, tenemos un pequeño mapa que nos dice exactamente cómo ir de uno a otro.
Ok genial. Ahora, aquí está la patada: ¿qué le sucede a la línea real si giramos el círculo 180 grados? Bueno, el polo norte se mueve hacia el polo sur, que podemos ver que se asigna a cero. El polo sur se mueve hacia el polo norte, que se asigna al infinito. De hecho, en general (y debería verificar esto), rotar el círculo 180 grados es lo mismo que aplicar [matemáticas] x \ mapsto 1 / x [/ matemáticas] a la línea real.
Entonces, al final del día, la transformación de [matemática] f (x) [/ matemática] a [matemática] f (1 / x) [/ matemática] simplemente “rota” el espacio en el que se define la función, en particular , mueve 0 a [math] \ infty [/ math] y [math] \ infty [/ math] a 0.