¿Por qué son importantes los espacios [matemáticos] L ^ p [/ matemáticos]?

Answer 1

Yo diría que hay tres espacios [matemática] L ^ p [/ matemática] que son los más importantes: [matemática] L ^ 1, \ L ^ 2, \ L ^ \ infty [/ matemática].

[matemática] L ^ 1 [/ matemática] es el espacio de funciones integrables, que es importante por razones relativamente obvias.

[matemática] L ^ 2 [/ matemática] es el espacio de funciones integrables al cuadrado, que aparecen mucho en física cuántica. Este espacio tiene la propiedad especial de que es isomorfo al espacio de los funcionales en este espacio.

[matemática] L ^ \ infty [/ matemática] es el espacio de funciones “limitadas” (para ser un poco más precisos, el espacio de funciones que están limitadas fuera de algún conjunto de medida cero). Este espacio tiene un subespacio cerrado importante: el espacio de funciones continuas. La norma [matemática] L ^ \ infty [/ matemática] en las funciones continuas le permite definir la noción de convergencia uniforme. La convergencia uniforme es muy útil, porque si tiene una secuencia de funciones que convergen uniformemente, se conservan muchas propiedades útiles (más notablemente, continuidad).

Sin embargo, resulta que si desea responder preguntas sobre estos tres espacios, puede ser útil observar también los espacios “intermedios” [matemáticos] L ^ p [/ matemáticos]. Para obtener más información sobre esto y también sobre otras aplicaciones de los espacios [matemáticos] L ^ p [/ matemáticos], consulte: Espacio Lp

Answer 2

Además de lo que Senia Sheydvasser explicó en su respuesta.

Para algunos fenómenos físicos que se pueden describir con algunas ecuaciones diferenciales parciales, generalmente querrá observar o predecir la medida de cierta cantidad física, por ejemplo, temperatura, presión, estrés o carga. Nuestra intención ahora es llegar a una solución para estas ecuaciones diferenciales parciales.

Pero debido a las complejidades del dominio que considera o las condiciones de contorno, nuestra cantidad física (la solución) podría no ser fluida y agradable. De hecho, estamos buscando algunas funciones feas que satisfagan nuestra descripción matemática del fenómeno físico.

Inicialmente, todos vimos espacios funcionales que eran especialmente buenos. [matemáticas] C ^ {\ infty} [/ matemáticas], el espacio funcional con funciones infinitamente diferenciables. Este conjunto de funciones no puede escupir una función que se ajuste a nuestros requisitos. El requisito de que sea feo. Como pudimos integrar una ecuación diferencial parcial, desarrollamos funciones que se definen bajo la integral. Esto dio pie a la evolución de los espacios [matemáticos] L ^ {p} [/ matemáticos].