Cómo saber que cuando tienes una ecuación cuadrática como x ^ 2-0.5x-7.5 y sus dos intersecciones x (-2.5 y 3) puedes reescribirla nuevamente como (x + 2.5) (x-3)

Answer 1

Bueno, las dos ecuaciones que escribiste son equivalentes, una de ellas está factorizada, la otra no:
[matemática] 2 \ left (x ^ 2- \ frac {1} {2} x – \ frac {15} {2} \ right) = 2x ^ 2-x-15 [/ math]

y
[matemáticas] 2x ^ 2-x-15 = (2x + 5) (x-3) [/ matemáticas]
que también se puede escribir como
[matemática] 2 \ izquierda (x + \ frac {5} {2} \ derecha) (x-3) [/ matemática]

Entonces, si desea encontrar las intersecciones en y, puede hacerlo escribiendo
[matemáticas] 2 \ izquierda (x + \ frac {5} {2} \ derecha) (x-3) = 0 [/ matemáticas]

Ahora puede ver que la única forma en que esta ecuación podría ser cero, es si alguno de los factores es cero (ya que el producto de dos números es cero solo si al menos uno de ellos es cero). Entonces, de hecho, tienes las intersecciones en x como parte de los factores.

Pero esto es cierto siempre … digamos si una ecuación cuadrática se escribe como
[matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas]

entonces, si conoce la fórmula cuadrática, sabe que las soluciones son

[matemáticas] x = \ frac {-b \ pm \ sqrt {b ^ 2-4ac}} {2a} [/ matemáticas]

Es un buen ejercicio ver que si multiplicas los dos binomios

[matemáticas] \ left [x- \ left (\ frac {-b + \ sqrt {D}} {2a} \ right) \ right] \ cdot \ left [x- \ left (\ frac {-b – \ sqrt {D}} {2a} \ right) \ right] [/ math]

(donde [matemáticas] D = b ^ 2-4ac [/ matemáticas])
obtienes exactamente
[matemáticas] x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {c} {a} [/ matemáticas]

Entonces la ecuación
[matemáticas] \ left [x- \ left (\ frac {-b + \ sqrt {D}} {2a} \ right) \ right] \ cdot \ left [x- \ left (\ frac {-b – \ sqrt {D}} {2a} \ right) \ right] = 0 [/ math]

tiene las mismas soluciones que
[matemáticas] x ^ 2 + \ frac {b} {a} x + \ frac {c} {a} = 0 [/ matemáticas]
que es equivalente a

[matemáticas] ax ^ 2 + bx + c = 0 [/ matemáticas]

Answer 2

La expresión cuadrática (x + a) (x + b) nos dice lo siguiente:

1) Es positivo antes de x = -a, negativo entre -a y -b, positivo nuevamente después de x = -b.

2) Es cero en x = -a yx = -b.

Entonces, las intersecciones -a y -b son los puntos de “giro” donde la expresión cambia de signo . Por lo tanto, tiene mucho sentido escribir la expresión cuadrática en términos de a y b.

(Escribir la expresión cuadrática con cualquier otro número que las intersecciones no nos permitiría tener información sobre dónde cambia la curva el signo).

Answer 3

Bueno, hay exactamente un polinomio de grado 2 (hasta escala por un término constante) con esas intersecciones x particulares (esas raíces particulares). En realidad lo has escrito como el producto de dos polinomios de grado 1, cada uno de ellos con una de las raíces; cuando multiplica dos de estos polinomios, las raíces “se suman”.
De hecho, lo mismo funciona en cualquier grado: solo una ecuación de grado 1 (hasta la escala por un término constante) tiene una intersección x particular, una ecuación de grado 3 tiene el triplete particular de intersecciones x ( digamos que todavía son 3 incluso si se superponen)

Answer 4

¿Por qué las raíces son las intersecciones en x? Esto se debe a que las intersecciones x son precisamente donde ax ^ 2 + bx + c = 0. Según el teorema fundamental del álgebra, un polinomio de grado dos (ax ^ 2 + bx + c) tiene una forma factorizada equivalente a (x – i ) (x – j), que también es 0 en las intersecciones x. Para que ese sea el caso, (x – i) es 0 o (x – j) es 0. Eso significa que x = i o x = j. Entonces, al encontrar la ubicación de las intersecciones con el eje x, se encuentran las raíces del polinomio.

Las cosas se ponen un poco más complicadas cuando no hay intersecciones en x.

Answer 5

Cuando una ecuación cuadrática ax ^ 2 + bx + c = 0 tiene dos raíces r1 y r2, puede reescribirse como (x-r1) * (x-r2). Esto se debe a que si r es la raíz de un polinomio, entonces (x – r) divide el polinomio sin resto.