¿Por qué necesitamos funciones de evaluación sobre un espacio de funciones de Hilbert y cuáles son las ventajas de la limitación de las funciones de evaluación?

Answer 1

Si [math] H [/ math] es un espacio de Hilbert de funciones de valores complejos en algún conjunto [math] X [/ math], entonces para cada punto [math] x \ in X [/ math] el mapa [math] e_x: f \ mapsto f (x) [/ math] es un mapa lineal definido naturalmente
de [math] H [/ math] a [math] \ mathbb {C} [/ math]. La totalidad de estos funcionales en realidad determina [matemática] f [/ matemática] de manera única, y por lo tanto
sirve como un “sistema de coordenadas” en [matemáticas] H. [/ matemáticas] Por lo tanto, estos funcionales de evaluación, si existen, son de gran importancia para comprender el espacio [matemáticas] H. [/ matemáticas]

Tenga en cuenta que tales funciones de evaluación no existen para el espacio [matemática] L ^ 2 (X, \ mu) [/ matemática] para muchas medidas [matemática] \ mu [/ matemática] en [matemática] X [/ matemática]. Esto sucede, por ejemplo, cuando [math] X [/ math] es un conjunto abierto en [math] \ mathbb {R} ^ n [/ math] y [math] \ mu [/ math] es la medida de Lebesgue. De hecho, en este caso, [matemática] L ^ 2 (X, \ mu) [/ matemática] no es un espacio de funciones en [matemática] X [/ matemática], sino un espacio de clases de equivalencia de funciones en casi todas partes igualdad.

Un espacio en el que están limitadas las funciones de evaluación es el llamado “Reproducción del espacio de Kerbert Hilbert”. Gracias al teorema de representación de Riesz, hay un núcleo de reproducción para el espacio. Para obtener más detalles, consulte el artículo de Wikipedia: Reproducción del núcleo del espacio Hilbert.

Hay ejemplos muy importantes de tales espacios que surgen en el Análisis complejo y PDE, por ejemplo, espacios de Bergman. En tales casos, la delimitación de los funcionales de evaluación es una consecuencia de las estimaciones elípticas en la ecuación.