¿Por qué [math] \ left (\ sqrt {2} ^ \ sqrt {2} \ right) ^ \ sqrt {2} = 2 [/ math]?

Answer 1

Solo por diversión, el resultado que está preguntando puede usarse como una prueba no constructiva de que deben existir pares de números irracionales, a & b, de modo que [math] a ^ b [/ math] sea racional.

La prueba es así:

[math] \ sqrt 2 [/ math] no es racional. (La prueba de este hecho se puede encontrar en otra parte.) [Math] \ sqrt {2} ^ \ sqrt {2} [/ math] es racional o no lo es. Si es racional, entonces deje que [math] a = b = \ sqrt 2 [/ math] para que [math] a ^ b [/ math] sea racional. De lo contrario, [math] \ sqrt {2} ^ \ sqrt {2} [/ math] es irracional. Pero en este caso, deje que [math] a = {\ sqrt 2} ^ \ sqrt {2} [/ math] y deje [math] b = \ sqrt 2 [/ math]. Entonces [math] a ^ b = \ left ({\ sqrt 2} ^ \ sqrt 2 \ right) ^ \ sqrt 2 = 2 [/ math] que es racional. QED

No sabemos por esta prueba cuál de las dos opciones es el par de números correcto, pero sabemos que uno de ellos debe hacer el truco (por la Ley del medio excluido). El teorema de Gelfond-Schneider en realidad demuestra que [matemáticas] \ sqrt {2} ^ \ sqrt {2} [/ matemáticas] es irracional (y, de hecho, trascendental), pero este teorema es bastante complicado.

Answer 2

¿Por qué? Bueno, para empezar.

[matemáticas] (a ^ b) ^ c = a ^ {bc} [/ matemáticas]

para cualquier positivo a , by c .

Por lo tanto,

[matemáticas] \ left (a ^ {\ sqrt {2}} \ right) ^ {\ sqrt {2}} = a ^ {(\ sqrt {2} \ times \ sqrt {2})} = a ^ 2. [/matemáticas]

Próximo,

[matemáticas] \ sqrt {x} = x ^ {1/2} [/ matemáticas]

para cualquier x positivo, por lo tanto

[matemáticas] (\ sqrt {2}) ^ 2 = \ left (2 ^ {1/2} \ right) ^ 2 = 2 ^ {(1/2) \ times 2} = 2 ^ 1 = 2. [/ matemáticas]

Answer 3

¿Te refieres a [matemáticas] \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} ^ \ sqrt {2}} [/ matemáticas], o [matemáticas] \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} \ cdot \ sqrt {2}} [/ matemáticas]?

Para el segundo, [math] \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} \ cdot \ sqrt {2}} = \ sqrt {2} ^ 2 = 2 [/ math]. El primero es aproximadamente igual a 1.76083955588 …, no 2.

Answer 4

Aquí hay una buena pregunta donde puedes ejercitar tus habilidades de reglas de exponentes. Te mostraré cómo

[matemáticas] 2 \ hspace {2mm} [/ matemáticas] se transforma mágicamente en [matemáticas] \ hspace {2mm} \ left (\ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}} \ right) ^ {\ sqrt {2} }[/matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {5 mm} [/ matemáticas] [matemáticas] \ subrayado {2} = \ hspace {2 mm} \ sqrt {4} [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {1cm} = \ hspace {2mm} \ sqrt {2 \ cdot 2} [/ math]

[matemáticas] \ hspace {1cm} = \ hspace {2mm} \ sqrt {2} \ cdot \ sqrt {2} [/ math]

[matemáticas] \ hspace {1cm} = \ hspace {2mm} (\ sqrt {2}) ^ 2 [/ math]

[matemáticas] \ hspace {1cm} = \ hspace {2mm} (\ sqrt {2}) ^ {\ sqrt {4}} [/ math]

[matemáticas] \ hspace {1cm} = \ hspace {2mm} (\ sqrt {2}) ^ {\ sqrt {2 \ cdot 2}} [/ math]

[matemáticas] \ hspace {1cm} = \ hspace {2mm} (\ sqrt {2}) ^ {\ sqrt {2} \ cdot \ sqrt {2}} [/ math]

[matemáticas] \ hspace {1cm} = \ hspace {2mm} \ underline {\ left (\ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}} \ right) ^ {\ sqrt {2}}} [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto [/ matemáticas]

[matemáticas] \ hspace {5mm} 2 = \ hspace {2mm} \ left (\ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2}} \ right) ^ {\ sqrt {2}} [/ math]

Answer 5

Hay una ley de exponente y radicales.
Es decir,
(a ^ b) ^ c = a ^ (b * c)

Ahora, volviendo a tu pregunta,

(√2 ^ √2) ^ √2

= (√2) ^ (√2 * √2)

= (√2) ^ 2

= 2 ^ (1/2 * 2)
= 2.
Por lo tanto, probado;

Answer 6

[matemáticas] \ left (\ sqrt {2} ^ \ sqrt {2} \ right) ^ \ sqrt {2} [/ math]

[matemáticas] = \ sqrt {2} ^ {\ sqrt {2} \ sqrt {2}} [/ matemáticas]

[matemáticas] = \ sqrt {2} ^ 2 [/ matemáticas]

[matemáticas] = 2 [/ matemáticas]

Answer 7

Toma el registro. Es fácil ver que es igual a log 2.