Veo que solicitó una expansión de la respuesta de Anónimo hace algún tiempo. No estoy seguro de que haya algún interés en esta pregunta actualmente, pero pensé en seguir adelante y completar algunos detalles, siguiendo a Anónimo.
Dado que la ecuación es cúbica, sabemos que tiene al menos una raíz real, y la regla de signos de Descartes nos informa que, de hecho, tiene como máximo una raíz real positiva y no negativa. Si grafica la función (usando, por ejemplo, una de las calculadoras gráficas TI), encontrará que solo tiene una intercepción [matemática] x [/ matemática]. Llamando a la raíz real [matemática] \ nu = c [/ matemática], encuentro en el gráfico la [matemática] x [/ matemática] -intercepción [matemática] c \ aproximadamente 1.324718 [/ matemática] (también puede usar las fórmulas de Cardano para calcular este valor para la raíz real). Como es una raíz (o cero) de la función, [math] (\ nu – c) [/ math] es un factor y [math] c [/ math] debe satisfacer [math] c ^ 3-c- 1 = 0 [/ matemáticas]. Dividiendo la función original [matemática] \ nu ^ 3 – \ nu – 1 [/ matemática] por [matemática] (\ nu – c) [/ matemática] (es más fácil hacerlo por división sintética) obtenemos el factor cuadrático [matemáticas] \ nu ^ 2 + c \ nu + c ^ 2- 1 [/ matemáticas].
Esta no es exactamente la forma dada por Anónimo, pero es equivalente. Simplemente manipule [matemáticas] c ^ 3-c-1 = 0 [/ matemáticas] para obtener [matemáticas] {\ displaystyle {c ^ 2 = \ frac {1 + c} {c}}} [/ matemáticas], o [ matemática] {\ displaystyle {c ^ 2 – 1 = \ frac {1} {c}}} [/ math], y sustitúyela en mi forma para obtener el factor cuadrático anónimo [math] {\ displaystyle {\ nu ^ 2 + c \ nu + \ frac {1} {c}}} [/ math].
Allí tiene los detalles para encontrar la forma de factorización anónima: [matemáticas] {\ displaystyle {(\ nu – c) \ left (\ nu ^ 2 + c \ nu + \ frac {1} {c} \ right) }} [/ math], donde la función cuadrática es primo. La descomposición de la fracción parcial debe tener la forma general.
[matemáticas] {\ displaystyle {\ frac {\ nu ^ 2} {(\ nu – c) \ left (\ nu ^ 2 + c \ nu + \ frac {1} {c} \ right)} \, = \ , \ frac {A} {\ nu – c} + \ frac {B \ nu + D} {\ nu ^ 2 + c \ nu + \ frac {1} {c}}}} [/ math],
donde [matemática] A, \, B [/ matemática] y [matemática] D [/ matemática] son constantes por determinar. Estos se pueden obtener de la manera habitual multiplicando ambos lados de la ecuación por el denominador en el lado izquierdo, recogiendo términos similares en el resultado obtenido en el lado derecho y equiparando coeficientes de términos similares en ambos lados del ecuación resultante Esto produce un sistema de tres ecuaciones lineales a resolver para las tres constantes desconocidas en términos de [math] c [/ math].
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ACTUALIZAR. Tantas ecuaciones cúbicas, tan poco tiempo. Estas criaturas son ubicuas (gran palabra, lo sé, pero creo que es apropiado aquí) en las publicaciones de Quora. Tanto es así que recientemente me obsesioné con comprender mejor cómo resolverlos analíticamente. Por supuesto, ‘todos’ conocen las horribles fórmulas de Cardano, pero me preguntaba si había algo mejor, especialmente cuando buscas las verdaderas raíces de una bestia así. No hace mucho, la respuesta de Frank Wei mostró una derivación que involucra soluciones en términos de funciones trigonométricas, ¡lo cual pensé que era más parecido! Bien, realmente me gustó eso. Pero luego, para mi consternación, descubrí que este método no me daría la solución a la ecuación publicada aquí, la que encontré tan simplemente graficando. Prueba las soluciones trigonométricas de Frank, ya lo verás. Hay una buena razón por la cual sus soluciones fallan con su ecuación, pero guardaré esa respuesta para más adelante.
Así que probé algo similar al método de Frank, pero usando el coseno hiperbólico, en lugar del seno, y encontré otra solución que se mantiene cuando el cúbico tiene una, y solo una, solución real. Espero algún día mostrarle cómo llegué a él, pero si sigue el método de Frank, utilizando en su lugar el coseno hiperbólico, probablemente pueda derivarlo usted mismo. Y además, sé muy bien que no hay nada nuevo bajo el sol cuando se trata de resolver ecuaciones cúbicas, así que esto tiene que ser ‘bien conocido’ (simplemente no he podido encontrarlo, y realmente no he buscado duro) y probablemente se expone en docenas de libros de texto y / o documentos.
Entonces, sin más preámbulos, supongamos que tiene la ecuación cúbica más general: [math] ax ^ 3 + bx ^ 2 + cx + d = 0 [/ math]. Mediante una traducción a una nueva variable, digamos, [math] \ nu = x – A [/ math] (es decir, set [math] x = \ nu + A [/ math]), esto se lleva a la forma [math ] \ nu ^ 3 + p \ nu + q = 0 [/ math] (donde [math] p [/ math] y [math] q [/ math] son expresiones bastante complicadas que involucran [math] a, b, c [ / math] y [math] d [/ math], y [math] A = -b / (3a) [/ math]). Por supuesto, esta última es la forma de su ecuación desde el principio (con [matemáticas] p = q = -1 [/ matemáticas]). La solución para la raíz real [math] r, [/ math] que se cumple solo para [math] p <0, [/ math] me parece ser
[matemáticas] r = 2 \ sqrt {\ frac {-p} {3}} \, \ cosh {\ left [\, \ frac {1} {3} \, \ cosh ^ {- 1} {\ left ( \, \ frac {3 \ sqrt {3} \, q} {2 \, p \, \ sqrt {-p}} \, \ right)} \, \ right]} \ ,. [/ math]
El dominio del coseno hiperbólico inverso es [matemática] [1, \ infty) [/ matemática], entonces con [matemática] q = -1 <0, [/ matemática] la condición para que tal solución exista es que
[matemáticas] \ frac {3 \ sqrt {3} \, q} {2 \, p \, \ sqrt {-p}}> 1, [/ matemáticas]
que, para [math] p <0 [/ math], se puede escribir de manera equivalente como
[matemáticas] \ frac {q ^ 2} {4} + \ frac {p ^ 3} {27}> 0. [/ matemáticas]
La expresión en el lado izquierdo de esta desigualdad, a saber,
[matemáticas] D \ equiv \ frac {q ^ 2} {4} + \ frac {p ^ 3} {27}, [/ matemáticas]
se llama discriminante del polinomio cúbico y [matemática] D> 0 [/ matemática] es la condición necesaria y suficiente para la existencia de una única raíz real. Para su caso especial con [matemáticas] p = q = -1 [/ matemáticas], esta condición se cumple y la solución es
[matemáticas] r = 2 \ sqrt {\ frac {1} {3}} \, \ cosh {\ left [\, \ frac {1} {3} \, \ cosh ^ {- 1} {\ left (\ , \ frac {3 \ sqrt {3}} {2} \ right)} \, \ right]} = 1.324717957 \ ,, [/ math]
como encontramos anteriormente usando una solución gráfica.
Por cierto, la condición en el discriminante es el indicio de por qué las formas trigonométricas de las soluciones dadas por Frank no funcionan aquí. Sus soluciones son válidas solo para [math] D \ leq 0 [/ math], relacionadas con la condición para la existencia de la función seno inversa en su derivación.