El número de dígitos en un número entero X es [math] \ lfloor log_ {10} X \ rfloor +1 [/ math], donde los símbolos de tipo “paréntesis” alrededor del registro indican una parte entera.
Si [matemática] X_1 [/ matemática] tenía [matemática] n_1 [/ matemática] dígitos, y [matemática] X_2 [/ matemática] tenía [matemática] n_2 [/ matemática] dígitos, sabemos:
[matemáticas] n_1 = \ lfloor log_ {10} X_1 \ rfloor +1 [/ math]
[matemáticas] n_2 = \ lfloor log_ {10} X_2 \ rfloor +1 [/ math]
esto implica;
[matemáticas] n_1 -1 \ leq log_ {10} X_1 <n_1 [/ matemáticas]
[matemáticas] n_2-1 \ leq log_ {10} X_2 <n_2 [/ matemáticas]
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Sumando las dos desigualdades:
[matemáticas] n_1 + n_2 -2 \ leq log_ {10} (X_1 X_2) <n_1 + n_2 [/ matemáticas]
Lo que significa que la parte entera de [math] log_ {10} (X_1 X_2) [/ math] es [math] n_1 + n_2 -2 [/ math] o [math] n_1 + n_2-1 [/ math].
Y, por lo tanto, el número de dígitos en [matemáticas] X_1 X_2 [/ matemáticas], es decir, [matemáticas] n_ {X_1 X_2} [/ matemáticas] es [matemáticas] n_1 + n_2 -1 [/ matemáticas] o [matemáticas] n_1 + n_2 [/ matemáticas].
Si las partes fraccionarias de [math] log_ {10} X_1 [/ math] y [math] log_ {10} X_2 [/ math] suman menos de 1, entonces la respuesta es [math] n_1 + n_2 -1 [ /matemáticas]. De lo contrario, es [matemáticas] n_1 + n_2 [/ matemáticas].