En primer lugar, tenga en cuenta que un par de vectores ortogonales es siempre linealmente independiente. Esto no es tan difícil de probar. Tome una combinación lineal aleatoria de vectores no matemáticos [matemáticos] n [/ matemáticos] de su espacio vectorial dimensional [matemático] n [/ matemático] que sean ortogonales con respecto a algún producto interno y póngalo igual a cero
[matemáticas] \ lambda_1v_1 +… + \ lambda_nv_n = 0, \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \: \ lambda_1,…, \ lambda_n \ in \ Z_p, v_1, …, V_n \ in \ Z_p ^ n [/ math]
Ahora tome el producto interno de ambos lados con algún vector [math] v_i \ in \ {v_1, …, v_n \} [/ math]. ¿Qué puede decir acerca de los coeficientes [math] \ lambda_1,…, \ lambda_n [/ math]?
Así que ahora veamos el espacio vectorial [matemática] V = \ Z_p ^ n [/ matemática], como ha notado para cualquier subespacio dimensional [matemática] k – [/ matemática] [matemática] U \ subconjunto \ Z_p ^ n [/ math], tenemos que [math] U ^ {\ perp} [/ math] tiene dimensión [math] nk [/ math]. Puede demostrar fácilmente que para cualquier subespacio [matemático] U \ subconjunto \ Z_p ^ n [/ matemático], se cumple lo siguiente
- ¿Por qué es cierto que si los rectángulos p se cruzan entre sí debe haber una región (tal vez tan pequeña como un punto) donde todos se superponen?
- ¿Cómo puedo encontrar el número de pares de enteros positivos [matemática] x, y [/ matemática] de modo que [matemática] x ^ 2 + 3y [/ matemática] y [matemática] y ^ 2 + 3x [/ matemática] son ambos números cuadrados perfectos?
- ¿Cuál es la forma intuitiva más fácil de resolver problemas de valor esperado como “Determinar el número esperado de caras en n lanzamientos de monedas”?
- Descubrí que hay un polinomio (nk) -gree (con propiedades interesantes), que puede darnos un número de Stirling del segundo tipo, en cualquier valor de ny k. ¿Vale la pena explorar el descubrimiento?
- Suponga que el peso de 1 es cuatro y el peso de 0 es uno, ¿cómo puedo transformar una secuencia de 0s y 1s en otra secuencia, posiblemente con diferentes longitudes, de modo que exista una forma de retroceder y la nueva secuencia tenga la menor? posible peso?
[matemáticas] V = U \ oplus U ^ {\ perp} [/ matemáticas]
Aquí [math] \ oplus [/ math] es la operación de suma directa. Esto significa que cada vector [matemática] v \ en V [/ matemática] puede escribirse como una combinación única [matemática] v = u + u ‘[/ matemática], con [matemática] u \ en U, u’ \ in U ^ {\ perp} [/ math]. A partir de este hecho, siga directamente que la unión de una base para [matemáticas] U [/ matemáticas] y una base para [matemáticas] U ^ {\ perp} [/ matemáticas] le da una base para [matemáticas] V [/ matemáticas ]. Esto implica inmediatamente que
[matemáticas] dimV = dimU + dimU ^ {\ perp} [/ matemáticas]
Esto prueba intuitivamente lo que has dicho.
Ahora elija [math] k [/ math] vectores ortogonales (esto implica independencia lineal como se indicó anteriormente) con respecto a algún producto interno [math] : \ Z_p ^ n \ times \ Z_p ^ n \ rightarrow \ Z_p ^ n [/ math] para hacer una base para [math] U [/ math] y [math] nk [/ math] para [math] U ^ {\ perp} [/ math]. Entonces tienes que [math] U ^ {\ perp} [/ math] está abarcado por [math] nk [/ math] vectores ortogonales.
No importa si cambia el campo subyacente, el resultado sigue siendo el mismo.