Como [matemáticas] p \ equiv 1 \; (\ bmod4). [/ math], se puede escribir como [math] p = m ^ 2 + n ^ 2. [/ math] Uno de [math] m [/ math] o [math] n [/ matemáticas] es impar y el otro es par. Podemos designar [math] m [/ math] como impar y [math] n [/ math] como par.
Sea [matemática] n = 2y. [/ Matemática] Entonces [matemática] p = m ^ 2 + 4y ^ 2. [/ Matemática] Sea [matemática] x [/ matemática] el número real [matemática] x = (mi ) / 2. [/ math] Entonces [math] p = (2x + y) ^ 2 + 4y ^ 2. [/ Math]
Habremos terminado si podemos demostrar que [math] x [/ math] es un número entero. Será si [math] y [/ math] es impar.
¿Puede [matemáticas] y [/ matemáticas] ser par? Como [math] p = m ^ 2 + 4y ^ 2, [/ math] si [math] y [/ math] es par, entonces [math] p \ equiv m ^ 2 \; (\ bmod 8). [/ math] Pero [math] p \ equiv 5 \; (\ bmod8). [/ math], y eso implica que 5 es un residuo cuadrático (es decir, un cuadrado perfecto) módulo 8. Pero solo 0, 1 y 4 son residuos cuadráticos módulo 8.
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Por lo tanto, [math] y [/ math] es impar, y [math] x [/ math] es un número entero.