¿Qué es una fórmula de forma cerrada para [math] \ sum \ limits_ {x_1 <x_2} {} x_1x_2 [/ math] sobre todos los posibles [math] x_1 [/ math] y [math] x_2 [/ math] de [math] 1,2,3, …, n [/ matemáticas]?

Answer 1

Piense en los productos [math] x_i x_j [/ math] como formando una matriz con las entradas i y j . Estás pidiendo la suma de todos los elementos triangulares superiores. Pero esta matriz es simétrica, por lo que podemos obtener la suma sumando todos los elementos, restando elementos diagonales y dividiendo entre dos. Entonces podemos reescribir la suma como:

[matemáticas] \ sum_ {x_1 <x_2} x_1 x_2 = \ frac {1} {2} \ left (\ sum_ {x_1 = 1} ^ {n} \ sum_ {x_2 = 1} ^ {n} x_1 x_2 – \ suma x ^ 2 \ derecha) [/ matemáticas]

Hemos desacoplado los dos términos en la primera suma, por lo que podemos dividir la suma en

[matemáticas] \ sum_ {x_1 <x_2} x_1 x_2 = \ frac {1} {2} \ left (\ sum_ {x_1 = 1} ^ {n} x_1 \ sum_ {x_2 = 1} ^ {n} x_2 – \ suma x ^ 2 \ derecha) [/ matemáticas]
[math] = \ frac {1} {2} \ left [\ left (\ sum x \ right) ^ {2} – \ sum x ^ 2 \ right] [/ math]

Esto es solo un montón de sumas elementales que estoy seguro de que puedes evaluar. El resultado final es

[matemáticas] \ sum_ {x_1 <x_2} x_1 x_2 = \ frac {n (n + 1) (n-1) (3n + 2)} {24} [/ matemáticas]

Revisé hasta n = 4, parece correcto.

Answer 2

Comenzamos con un poco de trabajo de casos.
Los primeros términos son [matemáticas] 1 (2), 1 (2) +3 (3), 1 (2) +3 (3) +6 (4), [/ matemáticas] [matemáticas] 1 (2) + 3 (3) +6 (4) +10 (5) [/ matemáticas]
y para cualquier k general,
[matemáticas] \ sum_ {k = 1} ^ {n-1} \ frac {k (k + 1)} {2} (k + 1) = \ sum_ {k = 1} ^ {n-1} \ frac {k (k + 1) ^ 2} {2} [/ matemáticas].
Tenga en cuenta que los “coeficientes” de los términos forman los números triangulares, y el término dentro de los paréntesis es simplemente [math] k + 1 [/ math]. Esto es cierto porque a medida que agregamos [math] x_2 [/ math], todo, desde 1 a [math] x_2 -1 [/ math] es menor, y cuando sumamos estos, forma los números triangulares, por lo tanto ayudando a probar nuestra fórmula
Para evaluar esto, simplemente lo dividimos en la suma de [matemáticas] k / 2 [/ matemáticas] y la suma de [matemáticas] (k + 1) ^ 2 [/ matemáticas] de la suma de [matemáticas] k ^ 2 [/ matemáticas].
Esto pasa a ser [matemática] \ frac {(n-1) (n) (n + 1) (3n + 2)} {24} [/ matemática], que también es A000914 – OEIS.