Suponga sin pérdida de generalidad que [math] y \ geq x [/ math]. Entonces comprenda que la siguiente desigualdad también debe ser válida:
[matemáticas] (y + 2) ^ 2> y ^ 2 + 3x> y ^ 2 [/ matemáticas]
Por lo tanto, debemos tener que [matemáticas] y ^ 2 + 3x = (y + 1) ^ 2 [/ matemáticas], o:
[matemáticas] 3x = 2y + 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] y = \ frac {3x-1} {2} [/ matemáticas]
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Recuerde que también debemos tener [matemáticas] x ^ 2 + 3y = x ^ 2 + \ frac {9} {2} x- \ frac {3} {2} [/ matemáticas] es un cuadrado perfecto. Nuevamente, podemos deducir otra desigualdad de esta declaración:
[matemáticas] (x + 3) ^ 2> x ^ 2 + \ frac {9} {2} x- \ frac {3} {2}> x ^ 2 [/ matemáticas]
Esto nos deja solo las siguientes ecuaciones para resolver:
[matemáticas] x ^ 2 + \ frac {9} {2} x- \ frac {3} {2} = (x + 1) ^ 2 [/ matemáticas]
[matemáticas] x ^ 2 + \ frac {9} {2} x- \ frac {3} {2} = (x + 2) ^ 2 [/ matemáticas]
o
[matemáticas] \ frac {9} {2} x- \ frac {3} {2} = 2x + 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] \ frac {9} {2} x- \ frac {3} {2} = 4x + 4 [/ matemáticas]
que nos dan (respectivamente):
[matemáticas] x = 1, y = 1 [/ matemáticas]
[matemáticas] x = 11, y = 16 [/ matemáticas]
Supongo que si buscas pares ordenados, también tenemos
[matemáticas] x = 16, y = 11 [/ matemáticas]