¿Cuál es el propósito de probar el caso base en la inducción matemática?

Answer 1

“Todos los números (naturales) son pares e impares”.

Prueba: si un número es par, el siguiente número es impar. Y si un número es impar, el siguiente número es par. Por lo tanto, si un número es par e impar, también lo es el siguiente número, y el siguiente, y así sucesivamente.

Esta es una prueba completamente válida del hecho de que si cualquier número es par e impar, entonces todos los números que lo siguen también lo son. El único problema es que no tenemos un caso base: ni 0 ni 1 (ni ninguna otra cosa) es par o impar, por lo que el proceso de dominó no puede iniciarse.

Para derribar todas las fichas de dominó, necesitas que estén cerca una de la otra para que cada una derrote a su vecino. Pero también debes derribar el primer dominó tú mismo. De lo contrario, no pasa nada.

Answer 2

El caso base es el valor más pequeño de n para el que tiene la intención de probar P ( n ). Típicamente eso es n = 0 o n = 1.

La idea es que use el paso inductivo para reducir al caso base.

Es como si usaras el paso inductivo una y otra vez hasta llegar al caso base. Para probar P (3), reduzca a P (2), luego a P (1). Si n = 1 es el caso base, entonces demuestra P (1) por separado.

Sin ella, la conclusión no sigue.

Tome este ejemplo típico de un teorema que vería demostrado por inducción:

[matemáticas] \ quad1 + 2 + \ cdots + n = \ dfrac {n ^ 2 + n} {2} [/ matemáticas]

Cambiémoslo para que sea falso.

[matemáticas] \ quad1 + 2 + \ cdots + n = \ dfrac {n ^ 2 + n + 17} {2} [/ matemáticas]

Todavía puede probar el paso inductivo para esa declaración, es decir, si supone que es cierto para n = k , entonces puede probar que también es cierto para n = k + 1. Pero el caso base es falso.

Answer 3

Déjame darte una prueba errónea de que se pierde ese paso y verás por qué. Probemos que la suma de todos los números impares hasta 2n-1 es n ^ 2 + 1.

Entonces, hagamos el paso de inducción:
(n + 1) ^ 2-1 – (n ^ 2-1) = 2n + 1 = 2 (n + 1) -1

¡Hola, está probado! Sin embargo, está mal para n = 1. 1 no es 2. Es por eso que necesita un verdadero caso base.

Piensa en el paso de inducción: te mueve de una verdad a un número infinito de verdades. Pero tienes que comenzar con una verdad

Answer 4

Como otros han dado buenos ejemplos, me enfocaré en la lógica .

Breve respuesta a la pregunta : si no ha mostrado el caso base, no ha aplicado válidamente el principio de inducción matemática.

Introducción Una posible fuente de interpretación errónea es la palabra ‘inducción’. A menudo, la palabra se refiere a generalización. El principio de inducción matemática (PMI) se parece un poco a la generalización. Si eso es lo que era, el caso base podría ser irrelevante. Pero PMI no se trata de generalización (quizás la palabra ‘inducción’ se usa por razones históricas y porque parece una generalización).

¿Qué tipo de cosas es el principio de la inducción matemática ? PMI es uno de los axiomas del sistema de números naturales. Alternativamente, el principio de ordenamiento correcto (que cada conjunto no entero de enteros positivos contiene un elemento mínimo) junto con los otros axiomas puede usarse para probar el principio de inducción matemática. PMI y ordenar bien son equivalentes. Como sistema axiomático, sin el principio, los objetos del sistema no tendrían las propiedades ‘naturales’ de los números naturales. Por lo tanto, el PMI debe tratarse como un axioma o un teorema sobre los números naturales.

La forma de PMI . Sea P (n) una declaración sobre el número natural n. Si (i) P (1) es verdadero (base) y (ii) P (n) implica P (n + 1) para todo n (‘inducción’), entonces (iii) P (n) es verdadero para todo n . Notas El caso base no tiene que ser ‘1’. Hay otras formas del principio.

PMI no es generalización de casos particulares . ¿Por qué la premisa (ii) no es generalización? Esto se debe a que se prueba de una vez para cada número natural n y no para cualquiera o para muchos números en particular. Es genérico más que generalización.

La correcta aplicación de PMI . PMI tiene la forma de un axioma (teorema) que tiene dos premisas (i) y (ii) anteriores y una conclusión (iii). La conclusión no se sigue a menos que se muestren ambas premisas. En otras palabras, si no ha mostrado el caso base, no ha aplicado PMI de manera válida.

Answer 5

“Las bases fuertes pueden contener edificios altos”.

Como la inducción matemática es un edificio alto infinito, requiere una base sólida y válida. El caso base de la inducción matemática es el paso fundamental de probar con este método. Según el nombre, está claro que es ‘ La Base’ del Método de Inducción Matemática.

Después de probar el caso base, consideramos una hipótesis que permite que cualquier proposición ‘k’ sea verdadera. Con ayuda de eso, demostramos que la proposición ‘k + 1’ también es cierta. Esto completa nuestra prueba.

El valor inicial de ‘k’ se toma como el valor base. Por lo tanto, es obligatorio probar el caso base para la prueba del teorema completo.

Tomemos un ejemplo práctico.

Considere el caso del ‘cierre de cremallera’. Una cremallera cierra con éxito el siguiente diente de la cremallera si el anterior está comprimido. En este caso, el caso base son los primeros dientes de la cremallera. Si el primer zip no se cierra correctamente, no se puede cerrar todo el zip. Ha notado que cuando su cremallera se daña, todos los dientes permanecen abiertos después del primer diente sin cerrar de la cremallera.

En nuestros días escolares, a veces la cremallera de nuestra mochila se daña. Logramos abrir / cerrar el zip hasta ese límite, no más allá de eso. Entonces, que el primer diente de la cremallera debe estar cerrado.

Por lo tanto, el Caso Base debe ser verdadero para que se satisfaga toda la propuesta.

Answer 6

En mi primer curso de análisis me dieron una metáfora útil:

Aprender a usar la inducción matemática es como aprender a usar una escalera.

Para subir una escalera todo lo que necesitamos es saber subir en el primer escalón.
(el caso base) y la capacidad de pasar al siguiente paso dado que estamos en un paso (el paso inductivo).

Necesitamos el caso base por la misma razón que necesitamos axiomas.

En caso de que esté interesado y no esté al tanto, recomendaría un vistazo rápido al trilema de Münchhausen (también conocido como el trilema de Aggripa). Esto podría proporcionar más información sobre por qué el caso base es “necesario”.

Answer 7

Todos los caballos son del mismo color si demuestra el caso base equivocado.

Answer 8

Y aquí está la frase, para las personas que piensan que es demasiado detallado.

Answer 9

Porque para probar cualquier cosa, necesitamos comenzar en algún lugar, en algún caso tangiblemente disponible. El caso base es ese paso. Solo entonces podemos intentar generalizar la corrección en todas partes.

Sin embargo, para refutar algo, solo necesitamos un contraejemplo. Uno podría mirar el caso base para ese comienzo también.

Answer 10

Considere la respuesta de Alex Suchman a ¿Cómo explicaría el concepto de inducción matemática?

El paso inductivo asegura que todas las fichas de dominó estén alineadas y que si una se vuelca, el resto caerá; el caso base es donde muestra que un dominó puede volcarse.

Answer 11

La idea de la inducción es demostrar que siempre que p (k) se mantenga, p (k + 1) se cumple. Por lo tanto, debe poder demostrar que es cierto para un valor inicial antes de poder demostrar que siempre es cierto.

Otras respuestas han dado algunos buenos ejemplos de lo que puede suceder cuando la prueba del caso base sale mal.

Answer 12

En la inducción matemática, primero demuestras que tu afirmación es cierta para el caso base. Luego demuestras que si es cierto para un solo caso, es cierto para el siguiente caso.
Si no prueba el caso base, realmente no ha probado nada. La inducción solo funciona como una cascada si demuestra el primer caso. Esperemos que el caso base sea obvio e intuitivo, por lo que demostrarlo de verdad parece una tontería. Pero, por supuesto, hay pruebas más difíciles de construir donde el caso base puede ser difícil de probar.

Answer 13

La inducción es el método de prueba del dominó. Si un caso es verdadero, el siguiente es verdadero, por lo que si se prueba un caso, se prueba el siguiente, lo que prueba el siguiente, y así sucesivamente, como una línea de fichas de dominó cayendo. Pero tienes que superar ese primero.

Answer 14

Maldición, los carteles anteriores deberían haber demostrado que todas las personas tienen la misma altura usando el caso base defectuoso n = 2, en lugar de las identidades de suma. Eso hubiera sido gracioso.