El hecho de que los números de Stirling del segundo tipo puedan ser generados por polinomios de esta manera es una consecuencia bastante simple de la relación de recurrencia básica satisfecha por estos números.
Para hacer su observación precisa, afirmo que para cada [matemática] n \ geq 0 [/ matemática] hay una función polinómica [matemática] f_n (x) [/ matemática] de grado [matemática] 2n [/ matemática] tal que
[matemáticas] f_n (k) = \ left \ {\ begin {array} {c}
n + k \\
k
\ end {array} \ right \} [/ math]
para todos los enteros no negativos [matemáticas] k [/ matemáticas]. Tenga en cuenta que, si existe tal polinomio, está determinado por esta propiedad, ya que dos polinomios solo pueden tener finitamente muchos valores comunes.
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La prueba es por inducción en [matemáticas] n [/ matemáticas]. Tenemos [math] f_0 (x) = 1 [/ math], por lo que se mantiene el caso base. En general, existe la relación de recurrencia.
[matemáticas]
\ left \ {\ begin {array} {c}
n + k \\
k
\ end {array} \ right \}
[/matemáticas]
[matemáticas] = k \ left \ {\ begin {array} {c}
n-1 + k \\
k
\ end {array} \ right \}
+ \ left \ {\ begin {array} {c}
n-1 + k \\
k-1
\ end {array} \ right \}
[/matemáticas]
lo que da
[matemáticas] f_n (k) = kf_ {n-1} (k) + f_n (k-1) [/ matemáticas]
para todos [math] k \ geq 0 [/ math]. Tomando diferencias finitas, obtenemos
[matemáticas] f_n (k) -f_n (k-1) = k f_ {n-1} (k). [/matemáticas]
Por inducción, [math] f_ {n-1} (k) [/ math] está de acuerdo con un polinomio de grado [math] 2n-2 [/ math], entonces la primera diferencia finita de [math] f_n [/ math] concuerda con un polinomio de grado [matemático] 2n-1 [/ matemático]. Esto significa que [math] f_n [/ math] está de acuerdo con un polinomio de grado [math] 2n [/ math]; además, es posible reconstruirlo hasta el término constante a partir de su diferencia finita, y el término constante es [matemática] 0 [/ matemática] ya que [matemática] f_n (0) = 0 [/ matemática] para [matemática] n> 0 [/ matemáticas].
Hemos demostrado que [math] f_n (x) [/ math] es una función polinómica. Además, la relación de recurrencia
[matemáticas] f_n (x) -f_ {n} (x-1) = x f_ {n-1} (x) [/ matemáticas]
en realidad se mantiene como polinomios ya que se mantiene siempre que [math] x [/ math] sea un entero positivo. Entonces es sencillo demostrar por inducción en [matemáticas] n [/ matemáticas] que si [matemáticas] n> 0 [/ matemáticas] y [matemáticas] -n \ leq k \ leq 0 [/ matemáticas] entonces [matemáticas] f_n (k) = 0 [/ matemáticas]. Por lo tanto, [math] f_n (x) [/ math] es de hecho divisible por
[matemáticas] x (x + 1) \ cdots (x + n), [/ matemáticas]
entonces hay algo de polinomio [matemática] g_n (x) [/ matemática] de grado [matemática] n-1 [/ matemática] tal que
[matemáticas] f_n (x) = x (x + 1) \ cdots (x + n) g_n (x) [/ matemáticas].