Tome cualquier número natural y agregue los dígitos individuales del número. Luego, agregue los dígitos del resultado. Sigue haciendo esto hasta que termines con un número de un solo dígito = x. ¿Son algunos valores de x más probables que otros?

Answer 1

A ambas respuestas hasta ahora les falta una observación explícita que haga que este problema sea trivial:

• Para cualquier número, digit_sum (x) proporciona el mismo resto que x módulo 9. (Esto se debe a [math] \ forall i: ~ 10 ^ i ~ \ bmod ~ 9 = 1 [/ math]. Una prueba bien conocida si un número es divisible por 9 se basa en esta observación).
• Para cualquier número de al menos dos dígitos, digit_sum (x) es menor que x, por lo que el proceso converge y en realidad siempre alcanza un número de un solo dígito.

Y eso es. Si comienza con [math] x [/ math], el dígito con el que terminará tiene el mismo módulo de resto 9 que [math] x [/ math]. Por lo tanto, el resultado es básicamente [matemática] x ~ \ bmod ~ 9 [/ matemática], excepto que será 9 siempre que el resto real sea 0.

Por lo tanto, todos los resultados 1 a 9 son igualmente frecuentes ; en realidad aparecen en un ciclo a medida que avanza por todos los números naturales en orden creciente.

Una oscura adición: la pregunta pregunta si algunos valores son más probables que otros. A esta pregunta literal, la respuesta sería: “No sabemos, y depende de la distribución de probabilidad elegida”. Es decir, la respuesta depende de cómo elija el número natural con el que comienza. Tenga en cuenta que no hay forma de elegir un número natural de manera justa (es decir, uniformemente al azar). Y como dato curioso, tenga en cuenta que algunas distribuciones de probabilidad “naturales” en enteros positivos / reales tienen algunas propiedades inesperadas: vea la ley de Benford como ejemplo.

Answer 2

Nunca llegas a 0; los dígitos 1-9 son igualmente probables.

(Nota: estoy usando la notación ‘1x’ para significar ‘el dígito 1 al lado de otro dígito’, en lugar de 1 * x, como sucede en otros lugares).

Considere las reducciones digitales de números de la forma 467329x:

4673290: 31: 4
4673291: 32: 5
4673292: 33: 6
4673293: 34: 7
4673294: 35: 8
4673295: 36: 9
4673296: 37: 10: 1
4673297: 38: 11: 2
4673298: 39: 12: 3
4673299: 40: 13: 4

Entonces 0 no aparece y vemos 4 duplicados. Intentémoslo de nuevo, con un prefijo diferente:

14159265358979323870: 97: 16: 7
14159265358979323871: 98: 17: 8
14159265358979323872: 99: 18: 9
14159265358979323873: 100: 1
14159265358979323874: 101: 2
14159265358979323875: 102: 3
14159265358979323876: 103: 4
14159265358979323877: 104: 5
14159265358979323878: 105: 6
14159265358979323879: 106: 7

Esta vez, 7 se repite. Si continúa haciendo esto, encontrará que la reducción de cualquiera (abc … z0) es la misma que la correspondiente (abc … z9), y que el resto de los dígitos aparecen precisamente una vez. Además, la reducción de (abc … z0) es la misma que (abc … z), quizás por razones obvias. Entonces, si la distribución de las reducciones de números de n dígitos es uniforme (es decir, todos los números son igualmente probables), entonces la distribución de números de dígitos (n + 1) también es uniforme.

Afortunadamente, la distribución de las reducciones de los números naturales de 1 dígito es uniforme entre 1 y 9. Por lo tanto, la distribución de las reducciones de los números de 2 dígitos es uniforme. Y la distribución de números de 3 dígitos es uniforme. Y la distribución de los números de k dígitos es uniforme, para todos los k. Entonces la distribución de las reducciones de todos los números naturales es uniforme; Los resultados del 1 al 9 aparecen exactamente en la misma proporción.

Answer 3

SI
Los dígitos del 1 al 9 son todos igualmente probables mientras que 0 no es posible.

Deje que GetRecursiveDigitsSum (N) sea una función que devuelve cuál es la respuesta deseada.

Luego, si hace una observación cuidadosa, se dará cuenta de que la función no es más que:

  GetRecursiveDigitsSum (N) {
       si (N es divisible por 9)
             volver 9
       más retorno (resto (N / 9))
 } 

La prueba es bastante simple. Deje que el dígito [math] i ^ {th} [/ math] sea [math] d [/ math]. Ahora, su contribución en la suma de dígitos sería [matemática] d [/ matemática] mientras que en el número original sería [matemática] 10 ^ i * d [/ matemática]. Si tomas la diferencia, obtienes [matemática] 9999 … (i-times) * d [/ matemática] que es divisible por 9. Estoy seguro de que puedes resolverlo después de eso. Por lo tanto, si sigue haciendo esto de forma recursiva, terminará obteniendo el resto con 9.

Ahora, todos los números naturales son igualmente probables, entonces, los números de la forma [matemática] 9k + 1, 9k + 2, …, 9k + 9 [/ matemática] son ​​todos igualmente probables.

Debe mantener un caso separado cuando la suma de dígitos se reduce a 9 porque luego debe detener el proceso. Es bastante trivial que 0 nunca pueda venir.

Answer 4

No es posible seleccionar uniformemente entre los números naturales, por lo que su distribución inicial de números naturales debe estar sesgada. Dependiendo de cómo sesgue su distribución, puede obtener cualquier resultado que desee para el orden de la frecuencia relativa de los dígitos 1-9 (y 0 también, si lo incluye como un número natural como lo hacen algunas definiciones).

Answer 5

No…