¿Existe una fórmula / algoritmo para encontrar el radio de n círculos necesarios para llenar un área cuadrada?

Answer 1

Edición mayor:

OK, no soy bueno en matemáticas formales. Tuve un presentimiento inicial, que terminó con el siguiente razonamiento, válido solo para matrices cuadráticas nxn de círculos dentro de cuadrados:

Sea n el número de círculos de radio r a lo largo de cada lado del cuadrado con los lados 1, y obtendrá:

[matemáticas] r_ {n} = \ frac {1} {2n} \ sqrt {2} [/ matemáticas]

Ahora, resolver el problema solo para casos muy fáciles no es muy divertido, así que traté de hacer un modelo y dibujar algunas de las otras alternativas. Tal vez alguien que esté mejor versado en matemáticas formales pueda usarlos para explicar esto rigurosamente, pero para mí parece que el apilamiento cuadrático de círculos es la solución más eficiente.

Los dibujos que siguen se construyeron en MATLAB suponiendo que la distribución más eficiente de los círculos haría que se crucen en el centro del cuadrado, A, y para n círculos coloque sus centros (B, C, etc.) en las n líneas dibujadas desde A de tal manera que la conexión de B, C, etc. forma un ángulo n equilátero.

Aquí, hay tres círculos con radio [matemática] r = \ frac {2} {5} \ sqrt {2} [/ matemática]. No sé si circunscriben exactamente el cuadrado, pero está bastante cerca. Con cuatro, que claramente da el mismo resultado que 8, obtienes esto:

Donde los círculos negros obviamente no juegan ningún papel. Mover el cuadrado dentro del área circunscrita no cambia esto, pero lo hace para la variante de 5 círculos, aunque aquí los círculos necesitan un radio un poco más grande, aproximadamente 0,52 x sqrt (2), y la intersección de todos los círculos necesita estar ligeramente desplazado del centro del cuadrado para obtener el tamaño de círculo más pequeño, aproximadamente 0.04 unidades aquí:

La situación es similar con 6 y 7 círculos. El diámetro de los círculos debe ser al menos 0.5 (para 6) y en algún lugar entre 0.5 y 0.54 con un ligero desplazamiento (para 7, los círculos aquí son 0.5, 0.52 y 0.54 veces sqrt (2)):

Ya mostré la imagen con 8 círculos, así que para el último, saltemos a 9. Aquí, es obvio que la disposición cuadrada es más eficiente, y usando esta imagen, creo que es posible ver la lógica: si quita el círculo central (centro en A) y expanda todo el resto, mientras mueve sus centros hacia A, los bordes de los círculos en diagonal también deben cruzarse en A, y sus centros deben colocarse a medio camino entre A y las esquinas. Si no se cumple esta condición, o bien todos los círculos no serán del mismo tamaño o no se circunscribirá todo el cuadrado.

Para el último enfoque que se me ocurre, podría tomar el círculo central como punto de partida, eliminar algunos de los círculos exteriores y expandir y mover los círculos restantes lateralmente para lograr la circunscripción total. Pero tampoco he podido obtener grandes ganancias de esa manera. Para 6 círculos, usando 0.48 x sqrt (2) como radio (ciertamente, menos de 0.5 x sqrt (2)), espaciando los centros de A en 0.78 unidades para formar un pentágono equilátero y compensando A en 0.05 unidades, obtengo esto :

Obtuve un arreglo similar con 7 círculos hasta 0.41 x sqrt (2) y con 8 a aproximadamente 0.395. Así que ahora también estoy interesado: ¿hay alguna solución general para esto?

Answer 2

Podrías mirar las gráficas y ajustar los diámetros de Benjamin Endré Larsen a mano o podrías forzar con fuerza bruta un conjunto de diámetros durante el intervalo que cubren el cuadrado, donde los diámetros son una función del radio del cuadrado y del inperímetro en coordenadas polares. Cuando el número de cobertura no sea cuadrado, obtendrás peldaños de platos en múltiplos de cuatro y la lave. La forma más fácil de encontrar estos arreglos es robar el trabajo de alguien sobre el problema del empaque y ajustar círculos más grandes hasta que cubran. Esto debe hacerse en peligro.