¿Qué es una explicación intuitiva de las fórmulas de energía?

Answer 1

Comenzaré con la energía potencial gravitacional, ya que esa es un poco más fácil de entender.

Lo primero que debe darse cuenta es que Trabajo y Energía son lo mismo (como lo demuestra el hecho de que tienen las mismas unidades). Puedes pensar en el trabajo como la transferencia de energía de una fuente a otra. Por ejemplo, cuando levanto un peso, estoy transfiriendo energía de mí mismo al peso.

En física, el trabajo realizado por una fuerza se define como esa fuerza multiplicada por el desplazamiento de lo que sea que esté actuando (en realidad, es el producto escalar de los dos vectores, pero si considera que “intuitivo” depende de su fondo matemático) .

[matemáticas] W = Fx [/ matemáticas]

Entonces, aquí hay una pregunta: digamos que tengo una masa [matemáticas] m [/ matemáticas]. Esa masa se mantiene sobre el suelo a una distancia de [matemáticas] h [/ matemáticas]. Ahora digamos que dejo caer la masa. ¿Cuánto trabajo va a hacer la gravedad sobre él mientras se precipita hacia el suelo? Bueno, la fuerza de gravedad es igual a [matemática] F_g = mg [/ matemática] donde [matemática] g [/ matemática] es la aceleración gravitacional, y cae una distancia de [matemática] h [/ matemática]. Por lo tanto, la gravedad hizo un trabajo [matemático] mgh [/ matemático] para devolver esa masa al nivel del suelo. Lo que eso también significa es que, mientras la masa aún está en el aire, la gravedad tiene el potencial de transferir energía a la masa [matemática] mgh [/ matemática]. Por lo tanto, la energía potencial gravitacional es [matemática] mgh [/ matemática].

Del mismo modo, puede pensar en la energía cinética de un objeto como el Trabajo que se requirió para que un objeto se moviera tan rápido. Obviamente, si tengo un bloque estacionario, tendré que esforzarme para que se mueva con cualquier tipo de velocidad. La cantidad de energía que bombeo en ese bloque para darle una velocidad será igual a la energía cinética que tiene ese bloque (menos las pérdidas debidas a la fricción y demás).

Curt Clemens (abajo) proporciona una gran explicación de las matemáticas detrás de la energía cinética y, sinceramente, si tiene los antecedentes de cálculo, la “integración” es la explicación más intuitiva que puede obtener. Pero en un intento de explicar esto sin cálculo, intentaré vincular esto con algo que acabamos de discutir: la energía potencial gravitacional.

Entonces, en nuestro ejemplo anterior, estábamos sosteniendo una masa [matemática] m [/ matemática] a una altura [matemática] h [/ matemática] sobre el suelo. Mientras sujetamos la masa, no se mueve y, por lo tanto, tiene energía cinética cero. Cuando liberamos la masa, dijimos que la gravedad comienza a trabajar en la masa, transfiriendo energía a ella. ¿A dónde va esta energía? Bueno, la masa está golpeando claramente el suelo con cierta velocidad, por lo que lo más probable es que la energía que la gravedad transfiere a la masa se manifieste como la energía cinética de la masa.

Tomemos un momento para resumir . Sabemos que en el tiempo que le tomó a la masa [matemática] m [/ matemática] llegar desde la altura [matemática] h [/ matemática] al suelo, la gravedad ha transferido [matemática] mgh [/ matemática] energía en eso. Sería seguro decir que la energía cinética de la masa cuando toca el suelo es igual a [math] mgh [/ math], y eso sería cierto en este escenario. Pero, ¿no sería mejor poder calcular la energía cinética conociendo solo la masa y la velocidad y no tener que depender de toda esta información sobre cómo se movió la masa?

Intentemos derivar una fórmula para la energía cinética usando solo masa y velocidad de nuestro ejemplo dado. La energía transferida por la gravedad da como resultado que la masa vaya a cierta velocidad cuando toca el suelo. Llamaremos a esto velocidad [math] v [/ math].

Por cinemática, sabemos que [math] v_f ^ 2 = v_i ^ 2 + 2ad [/ math], donde [math] v_f [/ math] es la velocidad final, [math] v_i [/ ​​math] es la velocidad inicial , [matemática] a [/ matemática] es la aceleración, y [matemática] d [/ matemática] es el desplazamiento. En nuestro caso, [matemática] v_f = v [/ matemática], [matemática] v_i = 0 [/ matemática] (recuerde que la masa no se movía al principio), [matemática] a = g [/ matemática] (gravitacional aceleración), y [matemáticas] d = h [/ matemáticas] (nos movimos una distancia de h para llegar al suelo). Por lo tanto, para nuestro escenario, tenemos:

[matemáticas] v ^ 2 = 0 ^ 2 + 2gh [/ matemáticas]
[matemáticas] v ^ 2 = 2gh [/ matemáticas]

Desde antes, dijimos que la energía que tiene la masa cuando toca el suelo es igual a [math] mgh [/ math]:

[matemáticas] E = mgh [/ matemáticas]

Haciendo alguna sustitución, obtenemos:

[matemática] E = m (gh) = m (v ^ 2/2) = (1/2) mv ^ 2 [/ matemática]

Y felicidades! Acaba de derivar la fórmula de la energía cinética utilizando solo masa y velocidad. Ve a darte una palmadita en la espalda y come una galleta. =)

Answer 2

Concéntrese en la derivación de la segunda ley de Newton.

[matemáticas] F = ma [/ matemáticas]

Integrar con respecto a dx.

[matemáticas] \ int F \, dx = \ int m \, \ frac {dv} {dt} \, dx [/ math]

Defina la integral de la izquierda como trabajo. Expande la derivada a la derecha usando la regla de la cadena.

[matemáticas] W = m \ int \ frac {dv} {dx} \ frac {dx} {dt} \, dx [/ matemáticas]

Use la definición de velocidad y cancele el dx.

[matemáticas] W = m \ int v \, dv [/ matemáticas]

Realizar la integración.

[matemáticas] W = \ Delta (\ frac {1} {2} mv ^ 2) [/ matemáticas]

Defina la cantidad del derecho a ser energía cinética, y represéntela con T. Separe W para trabajar contra fuerzas conservadoras y no conservativas.

[matemáticas] W_c + W_ {nc} = \ Delta T [/ matemáticas]

Dado que el trabajo conservador es independiente de la ruta, es puramente una función de la posición final. Esto nos permite pensarlo como energía almacenada. Defina el trabajo conservador como el negativo del cambio en la energía potencial U.

[matemáticas] W_ {nc} = \ Delta T + \ Delta U [/ matemáticas]

En cualquier situación en la que no existan fuerzas no conservativas en el trabajo, la energía se conserva:

[matemáticas] 0 = \ Delta (T + U) [/ matemáticas]

Excelente. ¿Entonces qué nos dice esto? Encontramos la fórmula para la energía cinética:

[matemáticas] T = \ frac {1} {2} mv ^ 2 [/ matemáticas]

Y para cada fuerza conservadora (gravedad, electromagnetismo, resortes ideales, etc.), hay una energía potencial asociada:

[matemáticas] U = – \ int F \, dx [/ matemáticas]

En el caso de un campo gravitacional uniforme, la fuerza es [matemática] F_g = – mg \ hat {y} [/ matemática], lo que da

[matemáticas] U_g = – \ int (- mg \ hat {y}) \ cdot \, d \ vec {r} = mg \ Delta y = mgh [/ math]

Entonces, ¿cuál es la intuición para las fomulas? La energía cinética cae de la segunda ley de Newton cuando se integra con respecto a x. Parece obvio que sería directamente proporcional a la masa, ya que esperaríamos que la energía de un objeto en movimiento se duplicara si su masa fuera doble. La velocidad es cuadrada porque la energía no depende de la dirección. El 1/2 es más difícil de justificar, pero se debe a que derivamos energía cinética con una integral, por lo que está allí por la misma razón que hay un 1/2 en la fórmula para el área de un triángulo. La energía potencial es fácil de entender: solo es trabajo almacenado. Lo confuso es que no todo el trabajo puede expresarse como energía potencial, ya que el trabajo no conservador no es una función de estado.

Answer 3

Tenemos impulso p es una cantidad conservada en ausencia de fuerza externa.

Ahora considere una Fuerza ejercida sobre una partícula, y considere una cantidad p ^ 2 / 2m, llamémosla E.

dE / dt = 1 / m (p.dp / dt) = vF = F.dx / dt = Trabajo realizado por unidad de tiempo = Potencia ejercida por la fuerza.

Ahora en ausencia de fuerza externa, incluso E se conserva.

Ahora considere un sistema de 2 cuerpos interactuando mutuamente.
E total es (p1 + p2) ^ 2/2 (m1 + m2)

dE / dt = (p1 + p2). (F12 + F21) / (m1 + m2) Dado que F12 = -F21, dE / dt = 0.

No me gusta la forma en que agregaste Energías usando el Momento de Center of Mass, puedo escuchar a alguien decir.

Bueno, hagámoslo de otra manera,

E = p1 ^ 2 / 2m1 + p2 ^ 2 / 2m2 + V
V es energía potencial, considere una fuerza conservadora.

dE / dt = p1.F12 / m1 + p2.F21 / m2 + dV / dt

F12. (v1) + F21. (v2) + dV / dt

Perdón por no usar látex para escribir una prueba rigurosa, pero
F es – Grad V y v1 es dx1 / dt
Entonces F12v1 es -dV1 / dt (Cambio en la energía potencial de 1 con el tiempo)
y F21v2 es -dV2 / dt
Entonces dE / dt es nuevamente 0.

¿Por qué la energía potencial es mgh? De nuevo puede explicarse usando el gradiente de potencial gravitacional haciendo pocas aproximaciones para la superficie cercana.

Answer 4

Bueno, no estoy seguro de lo que quieres decir exactamente pero …
La energía es difícil de definir intuitivamente, pero puede pensar que es una gran cantidad de esfuerzo.
¿Alguna vez corriste y por error golpeaste a alguien más?
Entonces, puede notar que el golpe es más fuerte si corre más rápido (es por eso que la energía es proporcional a la Velocidad o v ^ 2)
También es posible que hayas notado que cuando quieres mover a un hombre grande de su lugar, ya que está bloqueando el camino, muévete, es más difícil que uno pequeño (la energía es proporcional a la masa m)

La energía potencial se refiere a la cantidad de esfuerzo o trabajo para mover un objeto desde el suelo a la altura H, por lo que probablemente haya notado que es más difícil levantar un pavo, por ejemplo, a un lugar más alto (proporcional a h), también levantar un lion es mucho más difícil y tampoco se recomienda (propotinal a mg, que es el peso del objeto).
Espero que haya ayudado un poco.

Answer 5

Uno tiene que comprar energía potencial gastando energía cinética. Uno puede disfrutar de la energía cinética gastando energía potencial. Es como el dinero y los bienes. Gastar dinero y obtener bienes. Vende los bienes y consigue el dinero.

El intercambio entre la energía cinética y potencial está encapsulado en la fórmula del clásico lagrangiano.