Esta discusión trata sobre espacios lineales y subespacios de dimensiones finitas.
Creo que podemos apreciar el papel de los subespacios como subconjuntos de un espacio lineal si estudiamos los términos como subespacios, vectores linealmente independientes, etc.
Dado cualquier subconjunto E de un espacio vectorial V, el conjunto de todas las combinaciones lineales finitas posibles de miembros de E es un subespacio (digamos) W de V. Podemos mostrar fácilmente que W es el subespacio más pequeño que contiene todos los vectores de E. Por lo tanto, W se llama subespacio atravesado por E (o subespacio generado por E). Lo denotamos por span (E).
Dado cualquier subespacio U de un espacio lineal V, es posible encontrar el subconjunto mínimo (digamos) S que abarca todo el subespacio U. Se puede demostrar que S es un subconjunto máximo linealmente independiente de U.
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(Espero que sepa sobre la independencia lineal de los vectores. Decimos que un subconjunto T de un espacio lineal V es linealmente independiente si ningún miembro de T puede expresarse como una combinación lineal finita de los miembros restantes. De lo contrario, decimos que T es linealmente dependiente. Podemos mostrar que cualquier subconjunto que contenga el vector cero es linealmente dependiente.
Si T es un conjunto linealmente independiente, entonces cada vector en el subespacio W = span (T) puede expresarse de manera única como una combinación lineal de miembros de T (tomada en un orden específico). En este caso, decimos que T es una base para W. El subespacio W puede tener otras bases, pero el número de elementos de cualquiera de las dos bases será el mismo. Este número se llama la dimensión del subespacio W.
Tenga en cuenta que V en sí es un subespacio de V. Por lo tanto, estas discusiones son válidas para V también.
Se puede demostrar que (i) cualquier subconjunto máximo linealmente independiente de un subespacio W es una base de W. (ii) Cualquier subconjunto mínimo de expansión de W es una base de W.
Si podemos asignar una norma (una generalización de la longitud del vector) a cada vector de un espacio lineal V, entonces podemos definir una métrica (una generalización de la distancia) en V. Dichos espacios se denominan espacios lineales normados (nls).
La teoría de subespacios de espacios nl se aplica en el estudio de aproximaciones. Por ejemplo, se puede estudiar si una función real uniforme puede aproximarse a un nivel de precisión dado mediante funciones escalonadas o funciones polinómicas o funciones trigonométricas, etc.
La teoría de los subespacios es muy útil en la teoría de la codificación. En la codificación de mensajes, la elección juiciosa de subespacios (de peso mínimo especificado) del espacio vectorial V de todas las n-tuplas sobre un campo finito dado, juega un papel importante. Cualquier subespacio C de V se llama código. La teoría de codificación algebraica es la teoría de construir códigos adecuados, vectores de código y diferentes métodos de detección y corrección de errores de los vectores recibidos cuando las palabras de código se envían a través de un canal sujeto a ruido (perturbaciones). La teoría de la codificación se usa ampliamente en telecomunicación / comunicación satelital, dispositivos audiovisuales, almacenamiento de datos y dispositivos de recuperación, etc.
Por lo tanto, existen tremendas aplicaciones de espacios lineales y subespacios lineales en diversos campos (como procesamiento de imágenes, dispositivos de audio de alta fidelidad, etc.) que tienen aplicaciones directas para mejorar la calidad de nuestra vida.