¿Qué es una partición en matemáticas?

Answer 1

Hay dos significados de “partición” en matemáticas. Uno en teoría de conjuntos y otro en teoría de números. La pregunta está etiquetada con “teoría de conjuntos”, por lo que quizás esté preguntando sobre la primera, pero eso no se aclara en la pregunta.

En la teoría de conjuntos, una partición de un conjunto [matemática] S [/ matemática] es un conjunto de subconjuntos de [matemática] S [/ matemática] de modo que la intersección de cualquiera de los dos subconjuntos está vacía y la unión de todos los subconjuntos es [matemáticas] S [/ matemáticas]. En otras palabras, [math] S [/ math] está “dividido” o dividido en subconjuntos disjuntos. Este concepto generalmente surge en el contexto de las relaciones de equivalencia porque hay una correspondencia uno a uno entre las relaciones de equivalencia en un conjunto y las particiones del conjunto.

En teoría de números, una partición de un entero positivo es una forma de escribirlo como una suma de otros enteros, por ejemplo, [math] 6 = 4 + 1 + 1 [/ math]. El interés aquí es contar el número de particiones posibles.

Estas dos ideas de partición están relacionadas porque si particiona un conjunto finito, entonces el tamaño (cardinalidad) del conjunto original es igual a la suma de los tamaños de los subconjuntos de partición, pero las dos definiciones no son lo mismo y no deberían ser confuso.

Answer 2

Las particiones son un concepto muy recurrente en matemáticas. Intuitivamente, una partición de un objeto (por ejemplo, un conjunto o un número) es una división del objeto en partes, de modo que estas partes están completamente separadas entre sí y juntas forman el objeto completo. La última propiedad también se describe como mutuamente excluyente y colectivamente exhaustiva (MECE).

Una partición de un número natural es una forma de escribir el número como una suma de números naturales. Para un número natural, n, P (n) representa el número de formas en que n puede expresarse de manera única como una partición de sumandos enteros.

P (2) = 2 (2; 1 + 1)

P (3) = 3 (3, 2 + 1,1 + 1 + 1)

Este es un tema muy interesante ya que la tasa de aumento de P (n) es increíble. Por ejemplo, P (100) es 190569292.

Establecer particiones son un poco más complicadas. Pueden considerarse como una unión de subconjuntos disjuntos o como el resultado de una relación de equivalencia en el conjunto. La siguiente imagen puede ser una forma de visualizar un conjunto particionado con cada color que representa una partición diferente.

Una relación en un conjunto, S, es la propiedad binaria, R, que actúa sobre dos elementos. Entonces, cualquiera de los dos elementos elegidos del conjunto tiene la propiedad R o no. Por ejemplo, en el conjunto que se muestra arriba, una propiedad definida por “tiene el mismo color que” es una relación. Además, esta es una relación de equivalencia porque satisface estos requisitos adicionales:

1. Cada elemento tiene el mismo color que él mismo.
2. Si x, y son dos elementos del conjunto y si x tiene el mismo color que y, entonces y tiene el mismo color que x.
3. Si x, y, z son tres elementos del conjunto y si x tiene el mismo color que y e y tiene el mismo color que z, entonces x tiene el mismo color que z.

Como podemos ver en la imagen, esta relación de equivalencia ha dividido el conjunto en una partición con cada partición que consta de elementos que satisfacen la relación “tiene el mismo color que” entre sí.

Esta respuesta ya se ha hecho larga, así que cerraré con una pequeña lista de lugares donde se encuentran particiones en matemáticas:

1. Teoría de grupo: las cosets de un grupo forman una partición del grupo.
2. Multiplicación matricial o multiplicación en bloque.
3. En el cálculo, la integral de una función se aproxima por el área bajo una función escalonada definida en una partición del dominio.

Answer 3

La palabra partición se ha utilizado en matemáticas en diferentes contextos.

1. Particionar un número: escribe un número N como la suma de otros números. Por ejemplo, 8 se puede dividir como 8 = 1 + 3 + 4. Particionar un número también se puede definir como encontrar un conjunto de números que se multiplican y obtendrá N. Por ejemplo, 8 = 2 * 4.
2. Particionar un conjunto S: se define como encontrar un conjunto de subconjuntos de S, por ejemplo, S1, S2, …, Sn, de modo que cada Si no esté vacío y [math] \ displaystyle (Si \ cap Sj = \ phi [ / math] para todos los pares de i y j distintas, está vacío. Y también la unión de todos los Si devolverá el conjunto S. Por ejemplo, el conjunto de todos los enteros se divide en 5 conjuntos cuando consideramos el módulo wrt 5. Cada conjunto representando todos los enteros que da el mismo resto cuando se divide por 5.
3. Particionar un intervalo: es casi lo mismo que Particionar un conjunto S.

Answer 4

Hay varias definiciones Puede ser un conjunto de enteros positivos que se suman a un total fijo. Por ejemplo, 1 + 2 + 4 es una partición de 7. También hay particiones multiplicativas, particiones de intervalos, particiones de conjuntos, particiones planas y particiones en topología. Estoy seguro de que hay otros que he olvidado o de los que nunca he oído hablar.

Answer 5

El particionamiento es un truco matemático muy utilizado, muy confiable y útil para obtener información útil y resolver problemas. Le permite hacer distinciones útiles. Una vez que lo haya visto hecho, y lo haya hecho varias veces usted mismo, comienza a aplicarlo en todas partes. Digamos que estás viendo todos los números enteros. Aparentemente no hay nada que los distinga unos de otros, excepto su tamaño. Luego te das cuenta de que se pueden dividir en números pares e impares, y estás listo y corriendo. En la gestión de proyectos, hay un método llamado método de ruta crítica. Digamos que tiene una lista de 1000 tareas que hacer para construir una casa. El conjunto de tareas se puede dividir en aquellas que se pueden retrasar por una cierta cantidad de tiempo antes de que retrasen el final del proyecto, y aquellas que no se pueden retrasar sin retrasar el final del proyecto, lo cual es muy útil para saber.

Y así. Buscar la partición casi siempre conducirá al progreso.