¿Tienes una variedad particular en mente? Si por [math] \ mathbb {C} ^ \ infty [/ math] te refieres a un espacio vectorial complejo de dimensión infinitamente contable, entonces (hasta el isomorfismo) solo hay una forma de hacerlo. Deje que [math] X [/ math] sea la unión disjunta de innumerables puntos infinitos [math] x_1, x_2, \ ldots [/ math]. Entonces, el anillo de funciones con valores suaves de [math] \ mathbb {C} [/ math] en [math] X [/ math] es isomorfo a [math] \ mathbb {C} ^ \ infty [/ math] como vector espacio.
Sospecho, sin embargo, que quieres hacer una pregunta diferente. Para una variedad [matemática] X [/ matemática], una notación común para el espacio de funciones suaves (digamos, de valor real) es [matemática] C ^ \ infty (X) [/ matemática]. Estas funciones son un anillo (de hecho, un álgebra sobre [math] \ mathbb {R} [/ math]) que utiliza la suma y multiplicación puntual. Dado que esta es simplemente la notación para el anillo de funciones suaves, no hay nada que “ver”.