¿Cuál es la forma más fácil de responder esta pregunta de problema de matemáticas de SAT?

Queremos encontrar todo b satifying (EQ): dist (b, -3)> 2dist (b, 3).

dist (b, -3) = | b – (- 3) | = | b + 3 | = b + 3 para b> -3 y = -b-3 para b <= – 3.

dist (b, 3) = | b-3 | = b-3 para b> 3 y -b + 3 para b <= 3.

Caso 1: supongamos que b 2 (-b + 3), lo cual es cierto si y solo si b> 9, una contradicción. Por lo tanto, no b <= – 3 satisface (EQ).

Caso 2: supongamos que b> 3. (EQ) se convierte en b + 3> 2 (b-3), lo cual es cierto si y solo si b <9. Por lo tanto, todo b en (3,9) satisface (EQ) mientras que b en [9, infinito) no.

Caso 3: Suponga que -3 <b 2 (-b + 3), lo cual es cierto si y solo si b> 1. Por lo tanto, todo b en (1,3] satisface (EQ) mientras que b en (-3,1] no.

Combinando los casos 2 y 3, tenemos que (EQ) se satisface si y solo b está en (1,9), que es la respuesta D).

Editar: Arriba está mi respuesta original. Acabo de ver cómo usar LaTeX en Quora, así que pensé en reproducir mi respuesta anterior y abordar algunos comentarios que se han hecho.

Primer punto: si sabe con certeza que una de las opciones A, B, C o D es la solución correcta, entonces todo lo que tiene que hacer es eliminar tres de las opciones para poder concluir que la opción restante es la respuesta. Este es el enfoque agradable y directo de la solución de Ben Nevitt (y de otros) y es una técnica estándar para tomar pruebas de opción múltiple. Sin embargo, es importante tener en cuenta que si no sabía que uno de A, B, C o D era una solución correcta, este argumento falla. Por ejemplo, si su maestro cometió un error y para D usó el intervalo [matemáticas] (2,10) [/ matemáticas], luego de seguir la solución de Ben Nevitt, concluiría que [matemáticas] (2,10) [/ matemáticas] es la solución intervalo, cuando claramente no lo es.

Segundo punto: si no tiene respuestas para elegir, y tiene que encontrar el intervalo de solución sin conocimiento previo de lo que podría ser, debe analizar las funciones de valor absoluto en las funciones de distancia. Y, esto implica considerar TODOS los casos en los que cada una de las funciones de valor absoluto cambia las definiciones.

Recuerde la definición de dos partes de una función de valor absoluto centrada en una constante [matemática] a [/ matemática]:

[matemáticas] | xa | = \ begin {cases} xa & \ text {if $ x \ geq a $} \\ – (xa) & \ text {if $ x <a $} \ end {cases} [/ math ]

Tenga en cuenta que el caso de [math] x = a [/ math] se puede colocar en cualquier parte (o en ambas partes) de esta definición ya que [math] | aa | = 0 = -0 [/ math]; He elegido incluir [matemáticas] x = a [/ matemáticas] en la primera parte de la definición.

La desigualdad de distancia a resolver es [matemática] | x + 3 |> 2 | x-3 | [/ matemática]. El valor absoluto de la izquierda cambia la definición en [matemática] x = -3 [/ matemática] y la derecha cambia la definición en [matemática] x = 3 [/ matemática]. Por lo tanto, hay tres regiones en las cuales la desigualdad de distancia toma diferentes formas matemáticas para ser analizadas debido a la definición de dos partes de una función de valor absoluto: ([matemática] – \ infty, -3) [/ matemática], [matemática] [ -3,3) [/ math] y [math] [3, \ infty) [/ math].

Caso 1: Sobre [matemática] (- \ infty, -3) [/ matemática] tenemos tanto [matemática] x <-3 [/ matemática] como [matemática] x – 2 (x-3) [/ matemática]. Es importante darse cuenta de que esta desigualdad no se aplica a nuestro problema de distancia fuera de [math] (- \ infty, -3) [/ math] ya que su forma proviene de aplicar la definición de las dos funciones de valor absoluto en la distancia original desigualdad cuando [matemáticas] x 9. [/ matemática] Esto dice que la desigualdad se cumple si y solo si [matemática] x> 9. [/ Matemática] Dado que todos estos valores están fuera de [matemática] ( – \ infty, -3) [/ math] no hay valores en [math] (- \ infty, -3) [/ math] que satisfagan nuestra desigualdad de distancia original.

Caso 2: Sobre [matemática] [- 3,3) [/ matemática] la desigualdad de distancia se convierte en [matemática] (x + 3)> – 2 (x-3) [/ matemática]. Después de un poco de álgebra, esto se convierte en [matemáticas] x> 1 [/ matemáticas]. Por lo tanto, la desigualdad de distancia original se mantiene sobre [matemáticas] (1,3) [/ matemáticas] pero no sobre [matemáticas] [- 3,1] [/ matemáticas].

Caso 3: sobre [matemática] [3, \ infty) [/ matemática] la desigualdad de distancia se convierte en [matemática] (x + 3)> 2 (x-3) [/ matemática]. Después de un poco de álgebra, esto se convierte en [matemáticas] x <9 [/ matemáticas]. Por lo tanto, la desigualdad de distancia original se mantiene sobre [matemáticas] [3,9) [/ matemáticas] pero no sobre [matemáticas] [9, \ infty) [/ matemáticas].

Combinando TODOS los tres casos, vemos que la desigualdad de distancia original se mantiene

[math] \ emptyset \ cup (1,3) \ cup [3,9) = (1,9) [/ math] y no se mantiene fuera de este intervalo.