Cómo examinar en qué puntos [math] z \ in \ mathbb {C} [/ math] las siguientes funciones son holomorfas y especificar la derivada [math] f ‘[/ math], si existe

Answer 1

¿Como podemos hacerlo? Pregúntale a Cauchy y Riemann.

Una función compleja es holomórfica si y solo si se cumple la condición de Cauchy-Riemann. La condición es la siguiente:

Suponga que [math] f: \ mathbb {R} ^ {2} \ rightarrow \ mathbb {R} ^ {2} [/ math] es una función que asigna [math] z \ left (x, y \ right) = x + iy [/ math] a [math] f \ left (z \ left (x, y \ right) \ right) = u \ left (x, y \ right) + iv \ left (x, y \ right) [/ math], entonces si ambos

1. [matemáticas] \ dfrac {\ partial u} {\ partial x} = \ dfrac {\ partial v} {\ partial y} [/ matemática]
2. [matemáticas] \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} = – \ dfrac {\ partial v} {\ partial x} [/ matemática]

están satisfechos, se dice que [math] f [/ math] satisface la condición de Cauchy-Riemann.

Gracias Cauchy y Riemann.

Así que entremos en sus preguntas.

Deje [math] u = x ^ {2} + 2xy-y ^ {2} [/ math] y [math] v = y ^ {2} + 2xy-x ^ {2} [/ math].

[math] \ dfrac {\ partial u} {\ partial x} = \ dfrac {\ partial \ left (x ^ {2} + 2xy-y ^ {2} \ right)} {\ partial x} [/ math]

[matemáticas] = 2x + 2y [/ matemáticas]

[math] \ dfrac {\ partial v} {\ partial y} = \ dfrac {\ partial \ left (y ^ {2} + 2xy-x ^ {2} \ right)} {\ partial y} [/ math]

[matemáticas] = 2y + 2x [/ matemáticas]

[math] \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} = \ dfrac {\ partial \ left (x ^ {2} + 2xy-y ^ {2} \ right)} {\ partial y} [/ math]

[matemáticas] = 2x-2y [/ matemáticas]

[matemáticas] – \ dfrac {\ partial v} {\ partial x} = – \ dfrac {\ partial \ left (y ^ {2} + 2xy-x ^ {2} \ right)} {\ partial x} [/ matemáticas]

[matemáticas] = -2y + 2x [/ matemáticas]

De ahí las condiciones

[matemáticas] \ dfrac {\ partial u} {\ partial x} = \ dfrac {\ partial v} {\ partial y} [/ math] y [math] \ dfrac {\ partial u} {\ partial y} = – \ dfrac {\ partial v} {\ partial x} [/ math] están satisfechos. La función es holomorfa.

La derivada de [math] f [/ math] viene dada por

[matemática] \ dfrac {\ partial u} {\ partial x} + i [/ matemática] [matemática] \ dfrac {\ parcial v} {\ parcial x} [/ matemática]

[matemáticas] = \ left (2x + 2y \ right) + \ left (-2y + 2x \ right) i [/ math].

(Nota: para probar que esta fórmula anterior es verdadera, considere una matriz jacobiana y compárela con la matriz que corresponde al resultado de multiplicar dos números complejos, al comparar los términos en las matrices se podría obtener la ecuación de Cauchy-Riemann y el resultado anterior. )

Como [math] f [/ math] es holomórfico, implica que [math] f \ left (z \ right) [/ math] es holomorphic [math] \ forall z \ in \ mathbb {C} [/ math].

Entonces ahí lo tienes.

PD: He hecho una solución a una pregunta similar aquí hace unas horas y había estado copiando una gran parte de ella, ya que ambas preguntas básicamente están pidiendo lo mismo.

Answer 2

Bueno, puedes aplicar las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Ecuaciones de Cauchy-Riemann – Wikipedia

Si tiene una función valiosa compleja

[matemáticas] f (x, y) = u (x, y) + iv (x, y) [/ matemáticas]

Esto proporciona un criterio para que la función sea diferenciable. En el plano complejo diferenciable (o analítico) significa que no solo existe el límite derivado en (x, y), sino que lo hace y da el mismo valor en cualquier dirección (x, y). Es similar a cómo en el análisis real de una sola variable el límite izquierdo tiene que ser igual al límite derecho. Solo aquí el número de direcciones es infinitamente infinito. Suena difícil de probar. Bueno, no tanto con las ecuaciones de Cauchy-Riemann.

Dicen que la función es diferenciable si y solo si ( ok … veamos cómo escribir parciales en LaTeX …):

[math] \ frac {\ partial u} {\ partial x} = \ frac {\ partial v} {\ partial y} [/ math]

[matemáticas] \ frac {\ partial u} {\ partial y} = – \ frac {\ partial v} {\ partial x} [/ matemática]

Si intenta aplicar estas ecuaciones cuidadosamente a su ejemplo, funcionará. Entonces la derivada existe.

Ahora, dado que esto funciona, calcular la derivada es fácil, porque, como dije, si se cumplen las condiciones de Cauchy-Riemann, el límite de la derivada sale en la misma dirección en la que tome el límite. Para que pueda elegir el que sea más fácil de calcular, simplemente diferencie en la dirección x tomando

[matemáticas] \ frac {\ partial f} {\ partial x} = \ frac {\ partial u} {\ partial x} + i \ frac {\ partial v} {\ partial x} [/ matemática]

Te dejo con los detalles.

Tenga en cuenta que también podría calcular la derivada en la dirección y, pero dado que camina a lo largo del eje imaginario, su paso en el denominador de la expresión de la derivada debe ser i dy. Por lo tanto, debe tomar [math] \ frac {1} {i} \ frac {\ partial f} {\ partial y} = -i \ frac {\ partial f} {\ partial y} [/ math]

Answer 3

¿Qué es [matemáticas] \ tilde {f} [/ matemáticas] [matemáticas] (x, y) [/ matemáticas]? ¿Es [matemáticas] f (x + yi) [/ matemáticas]?

[matemática] \ frac {\ parcial u} {\ parcial x} = 2x + 2y [/ matemática]

[matemática] \ frac {\ parcial u} {\ parcial y} = 2x-2y [/ matemática]

[matemática] \ frac {\ parcial v} {\ parcial x} = 2y-2x [/ matemática]

[matemática] \ frac {\ parcial v} {\ parcial y} = 2y + 2x [/ matemática]

Las condiciones de Cauchy-Riemann se mantienen, por lo que la función es holomorfa.

Intente especificar su derivada usted mismo.