¿Cuántas soluciones admite [matemáticas] 2 ^ mn ^ 2-2n = 0 [/ matemáticas]?

Answer 1

Uno puede escribir esta ecuación como [matemáticas] 2 ^ m = n ^ 2 + 2n = n (n + 2 \,) [/ matemáticas]. Supongo que [math] m \, [/ math] y [math] n \, [/ math] deberían ser números naturales. Como [math] 2 ^ m \, [/ math] es una potencia principal, debe haber un [math] k \, [/ math], para el cual [math] 2 ^ k = n \ ge 2 \ Rightarrow k \ ge 1 \, [/ math] y [math] 2 ^ {k + \ delta} = n + 2 \, [/ math]. La desigualdad, porque [math] n + 2 \, [/ math] es par, así también [math] n \, [/ math]. [math] \ delta \, [/ math] debe ser uno, porque no hay solución para [math] 2 ^ \ delta n = n + 2 \, [/ math] con [math] \ delta> 1 \, [ /matemáticas]. La única solución para [matemática] k \, [/ matemática] es [matemática] k = 1 \, [/ matemática] con [matemática] n = 2 \, [/ matemática] porque [matemática] 2 ^ {k + 1 } = 2 \ cdot 2 ^ k = 2n = n + 2 \, [/ math]. Entonces [matemáticas] n = 2 \, [/ matemáticas] y [matemáticas] m = 3 \, [/ matemáticas] para [matemáticas] 2 ^ m = 2 ^ k \ cdot 2 ^ {k + 1} = 2 ^ { 2k + 1} = 8 [/ matemáticas].

Answer 2

2 ^ m = n ^ 2 + 2 * n = n * (n + 2)

Ahora como 2 es un número primo, n debe tener la forma 2 ^ k. Por lo tanto, la ecuación anterior se convierte en 2 ^ m = (2 ^ k + 1) * ((2 ^ k-1) +1) el segundo término también debe ser una potencia de 2. Esto es posible si f (2 ^ k-1) +1 se convierte en 2. Ie 2 ^ k-1 = 1 o k = 1.

Por lo tanto, si k = 1, entonces n = 2 y 2 ^ m = 8 o m = 3. Entonces la solución es (m, n) = (3,2).

Answer 3

La ecuación dada se puede resolver para [matemáticas] n [/ matemáticas] y para [matemáticas] m [/ matemáticas].

Resolviendo para n, se puede escribir el siguiente código de Mathematica:

Reducir [2 ^ m – n ^ 2 – 2 n == 0, n]

El resultado o solución general (valor real y complejo) obtenido es:

[matemáticas] \ displaystyle n = -1 \ pm \ sqrt {2 ^ m + 1} [/ matemáticas]

Las soluciones anteriores tienen un valor real si [math] 2 ^ m> -1 [/ math].

Resolviendo para [matemáticas] m [/ matemáticas], la ecuación dada se puede escribir como:

[matemáticas] 2 ^ m = n ^ 2 + 2 n [/ matemáticas]

Se puede ver que la solución para [matemática] m [/ matemática] involucra la base [matemática] 2 [/ matemática] logaritmo de [matemática] n ^ 2 + 2 n [/ matemática].

Escribiendo el código de Mathematica:

Reducir [2 ^ m – n ^ 2 – 2 n == 0, m]

da la siguiente solución general (valor real y complejo) para [math] m [/ math]:

[matemáticas] \ displaystyle m = \ frac {\ ln (n (n + 2)) + 2 i \ pi k} {\ ln (2)} [/ matemáticas]

con [math] n (n + 2) \ neq 0 [/ math] y [math] k \ in \ mathbb {Z} [/ math]

Para valores reales la solución es:

[matemáticas] \ displaystyle m = \ frac {\ ln \ left (n ^ 2 + 2 n \ right)} {\ ln (2)} [/ math] para [math] n> 0 [/ math] o [math ] n <-2 [/ matemáticas]

De la primera solución para [math] n [/ math], el valor entero [math] m = 3 [/ math] produce dos valores para [math] n [/ math]:

[matemáticas] n = 2 [/ matemáticas] y [matemáticas] n = -4 [/ matemáticas]

Y de la solución obtenida para [matemática] m [/ matemática], los valores [matemática] n = 2 [/ matemática] y [matemática] n = -4 [/ matemática] dan:

[matemáticas] \ displaystyle m = \ frac {\ ln (8)} {\ ln (2)} = 3 [/ matemáticas]

A continuación se muestra una gráfica de contorno de [matemáticas] 2 ^ mn ^ 2-2 n = 0 [/ matemáticas]:

El código de Mathematica para la gráfica anterior es:

ContourPlot [2 ^ m – n ^ 2 – 2 n == 0, {m, -9, 9}, {n, -9, 9}]

Answer 4

Supongo que myn deben ser números naturales.

Entonces solo hay una solución: m = 3, n = 2

La igualdad se puede formular así:

2 ^ m = n (n + 2)

Los factores primos del lado derecho (y por lo tanto de n y n + 2) deben ser solo 2. Si n y n + 2 son ambas potencias de 2, entonces n debe ser 2 yn + 2 debe ser 4 (no hay otras 2 potencias de 2 con la diferencia de exactamente 2). Por lo tanto, debe decir 8 = 2 (2 + 2).

Answer 5

[matemáticas] 2 ^ mn ^ 2-2n = 0 | * -1 [/ matemáticas]

[matemáticas] n ^ 2 + 2n-2 ^ m = 0 [/ matemáticas]

[matemáticas] n_ {1,2} = – 1 \ pm \ sqrt {1 + 2 ^ m} [/ matemáticas]

Entonces hay infinitas soluciones, dependiendo de m.

Answer 6

Bueno, dado que este es un polinomio de segundo grado en n, resolvamos n usando la fórmula cuadrática:

n = (2 + – sqrt ((- 2) ^ 2 – 4 (-1) (2 ^ m))) / (2 (-1)) = -1 + – sqrt (1 + 2 ^ m)

Como 1 + 2 ^ m> 0 para todos los m reales, hay infinitos pares reales (m, n) que pueden resolver su ecuación. Si está tratando de restringirse a soluciones enteras, entonces está tratando de encontrar instancias donde 1 + 2 ^ m es un cuadrado perfecto para algún entero m, lo que en realidad resulta en una reexpresión de la ecuación original:

1 + 2 ^ m = k ^ 2
2 ^ m = k ^ 2 – 1 = (k + 1) (k – 1)
Deje k – 1 = n
2 ^ m = (n + 2) n = n ^ 2 + 2n
2 ^ m – n ^ 2 – 2n = 0

Answer 7

2 desde su cuadrática