Si [matemática] a_n = 3 (a_ {n – 1} +2) [/ matemática] para [matemática] n \ geq 2 [/ matemática], donde [matemática] a_1 = 1 [/ matemática], ¿qué es [matemática ] a_4 [/ matemáticas]?

Answer 1

Primero resolvamos la ecuación de recursión “homogénea” (es decir, sin el término constante):

[matemáticas] a_ {n} = 3a_ {n_1} = 3 \, * \, 3 \, * \,… * \, 3 \, * \, a_ {1} [/ matemáticas]

Por lo tanto, podemos proponer la siguiente forma: [matemáticas] a_ {n} = \ alpha 3 ^ {n} [/ matemáticas]

Para continuar, usamos la variación del método constante [1]:

[math] a_ {n} = \ alpha_ {n} 3 ^ {n} [/ math] donde [math] \ alpha_ {n} [/ math] es un término de una secuencia que estamos buscando.

Inyectando esto en la ecuación de recursión y reorganizando, uno encuentra:

[matemáticas] (\ alpha_ {n} – \ alpha_ {n-1}) = \ frac {6} {3 ^ {n}} [/ matemáticas]

Ahora, usando una suma telescópica y el hecho de que [matemáticas] \ alpha_ {1} = \ frac {a_ {1}} {3} = \ frac {1} {3} [/ matemáticas], uno obtiene:

[matemáticas] \ alpha_ {n} = \ frac {1} {3} +2 \ sum_ {i = 1} ^ {n-1} \ frac {1} {3 ^ {n}} = \ frac {1} {3} + 1- \ frac {1} {3 ^ {n-1}} [/ math] para [math] n \ geq1 [/ math] donde hemos usado la suma de una expresión de secuencia geométrica [2].

Finalmente: [matemáticas] a_ {n} = (\ frac {4} {3} -3 ^ {1-n}) \, 3 ^ {n} = 4 * 3 ^ {n-1} -3 [/ matemáticas ] para [matemáticas] n \ geq1 [/ matemáticas]

Por lo tanto: [matemáticas] a_ {4} = 4 * 3 ^ {3} -3 = 105 [/ matemáticas].

Espero que hayas disfrutado leyendo esta respuesta.

Notas al pie

[1] Variación de parámetros – Wikipedia

[2] Progresión geométrica – Wikipedia

Answer 2

Una respuesta general.

[matemáticas] a_n = 3 (a_ {n-1} +2) [/ matemáticas]

Agregar 3 en ambos lados

[matemáticas] a_n + 3 = 3 (a_ {n-1} +3) [/ matemáticas]

Deje [math] b_n = a_n + 3 [/ math]

[matemáticas] \ por lo tanto b_n = 3b_ {n-1} [/ matemáticas]

Esto es claramente una progresión geométrica con relación común [matemática] = 3 [/ matemática] y [matemática] b_1 = a_1 + 3 = 4 [/ matemática]

[math] \ Rightarrow b_n = 4 \ cdot 3 ^ {n-1} [/ math]

[matemáticas] a_n = b_n-3 = 4 \ cdot 3 ^ {n-1} – 3 [/ matemáticas]

[matemáticas] a_4 = 4 \ cdot 3 ^ 3-3 = \ boxed {105} [/ math]

Answer 3

a (n) = x (n) + z (n), Eq1

dado a (n) = 3 a (n-1) +6,

La ecuación homogénea reducida es

a (n) = 3 a (n-1) tiene como solución

x (n) = A (3) ^ n, Eq2

z (n) = 3z (n) +6

-2z (n) = 6

z (n) = -3, ecuación 3

Sustituya la ecuación 2 y la ecuación 3 en la ecuación 1

a (n) = A (3) ^ n -3 Eq 4, poner en condiciones iniciales para encontrar A

a (1) = A (3) ^ 1 -3 = 1

3A = 4, entonces A = 4/3, Eq 5 sub Eq5 en Eq 4 para obtener

a (n) = (4/3) (3) ^ n -3

a (n) = 4. (3) ^ (n-1) – 3

a (4) = 4 (3) ^ 3 -3 = 108–3 = 105

a (4) = 105

Answer 4

Answer 5

ponga n = 2 para obtener a2 como 3 (1 + 2) = 9.siguiente ponga n = 3 para obtener a3 = 3 (a2 + 2) que es 3 (9 + 2) que es 33. luego ponga n = 4 para obtener a4 = 3 (a3 + 2) que es 3 (33 + 2) que es 105.

Answer 6

* A2A

[matemáticas] a_2 = 3 (a_1 + 2) = 3 (1 + 2) = 9 [/ matemáticas]

[matemáticas] a_3 = 3 (a_2 + 2) = 3 (9 + 2) = 33 [/ matemáticas]

[matemáticas] a_4 = 3 (a_3 + 2) = 3 (33 + 2) = 105 [/ matemáticas]

Answer 7

Creo que será 105.

toma n = 2, obtienes a2 = 3 (a1 + 2) = 3 (1 + 2) = 9

toma n = 3, obtienes a3 = 3 (a2 + 2) = 3 (9 + 2) = 33

toma n = 4, obtienes a4 = 3 (a3 + 2) = 3 (33 + 2) = 105.

Este es el método más básico.

Answer 8

Dios, con el tiempo que te tomaste para escribir el Tex, podrías haber hecho la aritmética tú mismo.

Answer 9

an = 3 (a (n-1) +2)
a1 = 1
a2 = 3 (a1 + 2) = 3 (1 + 2) = 9
a3 = 3 (a2 + 2) = 33
a4 = 3 (a3 + 2) = 3 (33 + 2) = 105